Numerische Funktion

Eine numerische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, deren Funktionswerte erweiterte reelle Zahlen sind, also reelle Zahlen zuzüglich $-\mathrm{\infty }$ und $+\mathrm{\infty }$.

Betrachtet man eine Folge reeller Funktionen, so sind deren Supremum und deren Infimum im Allgemeinen nicht reell. In der Maßtheorie betrachtet man daher numerische Funktionen.

Definition

Sei $\mathrm{\Omega }\ne \mathrm{\varnothing }$ und bezeichne $\overline{ℝ}=ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\}$ die Zweipunktkompaktifizierung der Menge der reellen Zahlen. Eine Funktion

$f:\mathrm{\Omega }\to \overline{ℝ}$

heißt numerische Funktion.

Bemerkungen

Jede reellwertige Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ ist eine numerische Funktion, ebenso die erweiterten Funktionen.

Beispiele

• Die konstante Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to \overline{ℝ}$ mit $f(\omega ):=c$, wobei $c\in \overline{ℝ}$ also auch als $+\mathrm{\infty }$ bzw. $-\mathrm{\infty }$ definiert werden kann.
• Die Funktion

$f:ℝ\to \overline{ℝ}$, $f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x^2},& \text{falls }x=0\\ +\mathrm{\infty },& \text{falls }x=0\end{array}$

ist eine numerische Funktion. Mit der üblichen Definition der Konvergenz gegen ∞ ist sie sogar stetig.

Literatur

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