Satz von Švarc-Milnor

Der Satz von Švarc-Milnor (in anderen Transkriptionen auch Satz von Schwartz-Milnor oder Satz von Schwarz-Milnor) ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der geometrischen Gruppentheorie. Er wurde nach den Mathematikern Albert S. Švarc und John W. Milnor benannt.

Aussage

Sei $X$ ein geodätischer metrischer Raum, in dem abgeschlossene Kugeln mit endlichem Radius kompakt sind. Die topologische Gruppe $G$ operiere kokompakt auf $X$ und für alle kompakten Mengen $K\subset X$ sei die Menge $\{g\in G\mid gK\cap K\ne \mathrm{\varnothing }\}$ endlich.

Dann ist $G$ endlich erzeugt und für jedes $x_0\in X$ ist die Abbildung $G\to X,g\mapsto g.x_0$ eine Quasi-Isometrie bzgl. der zu einem (beliebigen) endlichen Erzeugendensystem definierten Wortmetrik.

Beispiele

• Die Gruppe $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen ist quasi-isometrisch zur reellen Zahlengerade $ℝ$.
• Die Gruppe ${\mathbb{Z}}^n$ ist quasi-isometrisch zum ${ℝ}^n$.
• Die Fundamentalgruppe ${\pi }_{1}X$ eines kompakten metrischen Raumes $X$ ist quasi-isometrisch zur universellen Überlagerung $\tilde{X}$ (falls diese existiert).

Literatur

• V.A. Efremovič: On the proximity geometry of Riemannian manifolds, Uspekhi Math Nauk, 8:189 (1953).
• A.S. Švarc: A volume invariant of covering, Dokl. Akad. Nauka SSSR (N.S.), 105 (1955), 32–34.
• J.W. Milnor: A note on curvature and fundamental group, J. Differential Geometry 2 (1968), 1–7. online

Weblinks

• The Svarc-Milnor Lemma