Sullivan-Starrheit

Im mathematischen Teilgebiet der geometrischen Funktionentheorie ist Sullivan-Starrheit (engl. Sullivan rigidity) eine tiefliegende Verallgemeinerung der Mostow-Starrheit in der Theorie der Kleinschen Gruppen. Sie geht auf Dennis Sullivan zurück.

Sullivan-Starrheit spielt eine zentrale Rolle beim Beweis wesentlicher Sätze der 3-dimensionalen Topologie, zum Beispiel beim Beweis der Ending Lamination Conjecture von Brock-Canary-Minsky und bei Thurstons Beweis der Geometrisierung gefaserter 3-Mannigfaltigkeiten.

Starrheitssatz

Seien ${\mathrm{\Gamma }}_1,{\mathrm{\Gamma }}_2\subset \mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}(H^n)$ diskrete Gruppen von Isometrien des hyperbolischen Raumes $H^n,n\ge 3$, zu denen es einen Isomorphismus $\rho :{\mathrm{\Gamma }}_1\to {\mathrm{\Gamma }}_2$ gibt. Die Wirkung von ${\mathrm{\Gamma }}_1$ auf ihrer Limesmenge $\mathrm{\Lambda }({\mathrm{\Gamma }}_1)$ sei rekurrent.

Wenn dann $f:{\partial }_{\mathrm{\infty }}{H}^n\to {\partial }_{\mathrm{\infty }}{H}^n$ ein quasikonformer Homöomorphismus des Randes im Unendlichen des hyperbolischen Raumes ist, so dass

$f(\gamma (x))=\rho (\gamma )(f(x))\mathrm{\forall }\gamma \in {\mathrm{\Gamma }}_1,x\in H^n$

gilt und die Einschränkung von $f$ auf den Diskontinuitätsbereich $\mathrm{\Omega }({\mathrm{\Gamma }}_1)$ eine konforme Abbildung ist, dann muss $f$ eine Möbiustransformation sein.

Anmerkungen

• Die Voraussetzung über eine rekurrente Wirkung auf der Limesmenge ist (nach einem Satz von Ahlfors) für alle endlich erzeugten Gruppen automatisch erfüllt.
• Aus dem Starrheitssatz folgt für endlich erzeugte Kleinsche Gruppen $\mathrm{\Gamma }\subset {\mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}}^{+}(H^3)$, dass jedes $\mathrm{\Gamma }$-invariante Beltrami-Differential $\mu$ mit $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(\mu )\subset \mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Gamma })$ fast überall Null sein muss.
• Sullivan-Starrheit hat zahlreiche Anwendungen in der komplexen Dynamik und in der Geometrie hyperbolischer Mannigfaltigkeiten unendlichen Volumens.

Literatur

• Dennis Sullivan: On the ergodic theory at infinity of an arbitrary discrete group of hyperbolic motions. Riemann surfaces and related topics: Proceedings of the 1978 Stony Brook Conference (State Univ. New York, Stony Brook, N.Y., 1978), pp. 465–496, Ann. of Math. Stud., 97, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1981.
• Matsuzaki-Taniguchi: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9 (Kapitel 5.2: The Sullivan rigidity theorem)
• M. Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2009. ISBN 978-0-8176-4912-8 (Kapitel 8.6: Sullivan rigidity theorem)