Zadoff-Chu-Folge

Plot einer Zadoff-Chu-Folge für u=7, N=353 (oben Realteil, unten Imaginärteil)

Eine Zadoff-Chu-Folge (ZC), auch Chu-Folge oder Frank-Zadoff-Chu-Folge (FCZ), ist eine komplexwertige mathematische Folge, die eine konstante Amplitude besitzt und deren zyklische Autokorrelation Null ergibt. Aufgrund dieser Eigenschaften werden Zadoff-Chu-Folgen auch als CAZAC-Folgen (Vorlage:EnS) bezeichnet. Angewandt auf die Ausbreitung eines elektromagnetischen Signals tritt auch mit Mehrwegeausbreitung keine Störung auf, da die verzögert bei dem Empfänger ankommenden ZC-Folgen orthogonal zueinander stehen. Sie sind benannt nach Solomon A. Zadoff und David C. Chu.

Berechnung der Folgenglieder

Die Berechnung des k-ten Glieds der Zadoff-Chu-Folge mit Parameter M (oft auch als Wurzel bezeichnet) hängt davon ab, ob die Länge $N$ der Folge gerade oder ungerade ist. Für gerade Längen gilt:

$x_M(k)=\text{exp}\left(j\frac{\pi M{k}^2}{N}\right),k=0,1,\cdots ,N-1$

für ungerade Längen gilt:

$x_M(k)=\text{exp}\left(j\frac{\pi Mk(k+1)}{N}\right),k=0,1,\cdots ,N-1$

der Parameter M muss so gewählt werden, dass M und N teilerfremd sind. Dabei entsteht für jeden Parameter M eine neue Zadoff-Chu-Folge. Durch eine Konjunktion der gesamten Folge, eine Verschiebung der Folge oder eine Phasenänderung der Form

$\text{exp}\left(j\frac{2\pi qk}{N}\right),q\in \mathbb{Z}$

ändert sich an den Korrelationseigenschaften der Folge jedoch nichts. Damit kann man die Folgen auch allgemeiner in dieser Form beschreiben:

$x_M(k)=\text{exp}(-j\frac{\pi Mk(k+c_{\text{f}}+2q)}{N}),c_{\text{f}}=Nmod2$

Verwendung

Zadoff-Chu-Folgen kommen beim Mobilfunkstandard LTE für das Vorlage:Lang (PSS), den Vorlage:Lang (PRACH), Vorlage:Lang (PUCCH), Vorlage:Lang (PUSCH) und Vorlage:Lang (SRS) zum Einsatz. Indem für jede Basisstation (eNodeB) zueinander orthogonale Zadoff-Chu-Folgen verwendet werden, können Interferenzen zwischen den Zellen vermindert werden. Zadoff-Chu-Folgen sind gegenüber den Walsh-Hadamard-Codes bei UMTS günstiger, da sie eine konstante Amplitude besitzen und somit geringere Anforderungen an die Linearität des Sendeverstärkers stellen.