Steinhart-Hart-Gleichung

Die Steinhart-Hart-Gleichung beschreibt die Veränderung des elektrischen Widerstandes bei einem Halbleiter zufolge einer Temperaturänderung und findet unter anderem Anwendung im Bereich der elektrischen Messtechnik zur Temperaturmessung mit Hilfe von Heißleitern (NTCs), welche einen Typ von Thermistoren darstellen. Die Formulierung der Gleichung geht auf John S. Steinhart und Stanley R. Hart zurück, welche diesen Zusammenhang erstmals 1968 publizierten.

Allgemeines

Die allgemeine Form der Steinhart-Hart-Gleichung, welche die Temperatur $T$ als Funktion des gemessenen elektrischen Widerstandes $R$ ausdrückt, hat folgende Form:

$\frac{1}{\{T\}}=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{\ln }^i(\{R\})=a_0+a_1\ln (\{R\})+a_2{\ln }^2(\{R\})+a_3{\ln }^3(\{R\})+a_4{\ln }^4(\{R\})+\dots$

mit den vom Heißleitermaterial abhängigen Koeffizienten $a_i$. In diese Zahlenwertgleichung muss der Zahlenwert der Temperatur $T$ in der Einheit Kelvin und der Zahlenwert des elektrischen Widerstandes $R$ in der Einheit Ohm eingesetzt werden.

Obwohl viele Quellen die falsche Annahme nennen, dass eine Gleichung mit mehr Koeffizienten eine genauere Regression ermöglichen, besagt die Originalveröffentlichung von Steinhart und Hart etwas Anderes. Demnach ist es für die Praxis am sinnvollsten, $a_0$, $a_1$ und $a_3$ zu nutzen:

$\frac{1}{\{T\}}=a_0+a_1\ln (\{R\})+a_3{\ln }^3(\{R\})$

Die höchste Genauigkeit wurde erreicht, indem $a_0$, $a_1$, $a_3$ und $a_5$ für die Berechnung genutzt wurden:

$\frac{1}{\{T\}}=a_0+a_1\ln (\{R\})+a_3{\ln }^3(\{R\})+a_5{\ln }^5(\{R\})$

Die drei Koeffizienten $a_0$, $a_1$ und $a_3$ werden als Steinhart-Hart-Koeffizienten bezeichnet und sind für verschiedene, handelsübliche Typen von Heißleiterwiderständen in deren technischen Datenblättern tabelliert. Bei unbekannten Steinhart–Hart-Koeffizienten lassen sie sich durch Messungen von drei, über den Messbereich verteilten Punkten, ermitteln.

Inverse Gleichung

Die für praktische Messungen inverse Steinhart-Hart-Gleichung liefert zu einem gegebenen Temperaturwert $T$ den elektrischen Widerstand $R$, mit folgenden Zusammenhang:

$\{R\}=\exp (\sqrt[3]{x-y}-\sqrt[3]{x+y})$

mit

$y=\frac{a_0-\frac{1}{\{T\}}}{2a_3}$

und

$x=\sqrt{{\left(\frac{a_1}{3a_3}\right)}^3+y^2}$