Newmark-beta-Verfahren

Newmark-beta-Verfahren sind Methoden zur impliziten numerischen Integration von Differenzialgleichungen. Die Verfahren gehören zu den Einschrittverfahren, da zur Berechnung der Werte zur Zeit t_n+1 nur die Werte des vorangegangenen Zeitschritts zur Zeit t_n benötigt werden. Dabei werden zwei Parameter β (beta) und γ eingeführt, mit denen die Stabilität und die Genauigkeit des Verfahrens gesteuert werden. Die Verfahrensklasse ist in der numerischen Analyse der Dynamik von Festkörpern wie in der Finite-Elemente-Methode weit verbreitet. Benannt ist sie nach Nathan M. Newmark, der sie 1959 für die Anwendung in der Strukturdynamik entwickelte.

Herleitung

Annahme linearer oder konstanter Beschleunigung

Im Zeitintervall $[t_0,t_e]$, in dem eine Lösung $x(t)$ einer Differenzial­gleichung zweiter Ordnung in der Zeit gesucht wird, sei eine streng monoton steigende Folge von Zeitpunkten $\{t_0,t_1,\dots ,t_e\}$ vorgegeben, zu denen die Lösung $x(t)$ berechnet werden soll. Der Wert der Variable $x_n$, ihre Rate ${\dot{x}}_n$ und Beschleunigung ${\ddot{x}}_n$ seien zur Zeit t_n bekannt. Die Beschleunigung wird im Intervall $t\in [t_n,t_{n+1}]$ linear interpoliert, siehe Bild:Vorlage:Anker

worin $x^h$ eine Näherungslösung der gesuchten Funktion $x$ bezeichnet. Integration über die Zeit liefert mit $\mathrm{\Delta }t=t-t_n$:

Mit

β = 1/6 und γ = 1/2

sind diese Formeln exakt und liefern das lineare Beschleunigungsverfahren. Unter der Voraussetzung, dass die Extremwerte der Beschleunigung im Intervall [t_n,t_n+1] an den Grenzen des Intervalls auftreten, stellen die Integrale in Gleichungen (II) und (III) eine abgebrochene Taylorreihe mit Restglied dar, wobei mit 0≤β≤1 und 0≤γ≤1 andere Approximationen $x^h$ gefunden werden. So können auch andere Werte für die Konstanten β und γ motiviert werden.

Start der Berechnung

Der Newmark-Algorithmus startet zur Zeit t=t₀ mit n=0. Zumeist wird angenommen, dass für t≤t₀ die Beschleunigungen verschwinden. Mit dieser Annahme ist der Algorithmus unter Vorgabe der Anfangswerte x₀ und Anfangsgeschwindigkeit ẋ₀ selbststartend, d. h. die Anfangsbeschleunigungen brauchen nicht in einem ersten Schritt berechnet zu werden.

Aktualisierung der Variablen

Mit dem Newmark-Algorithmus werden aus gegebenen Werten $x_n,{\dot{x}}_n$ und ${\ddot{x}}_n$ zur Zeit t_n die entsprechenden Werte zur Zeit t_n+1 berechnet. Die im Intervall $[t_n,t_{n+1}]$ liegenden Werte können mit den #Gleichungen (I) bis (III) interpoliert werden. Mit $t=t_{n+1}$ und ${\ddot{x}}^h(t_{n+1})={\ddot{x}}_{n+1}$ bekommt man aus Gleichungen (II) und (III):Vorlage:Anker

Die beiden Gleichungen (IV) und (V) enthalten drei Unbekannte $x_{n+1},{\dot{x}}_{n+1}$ und ${\ddot{x}}_{n+1}$. Die dritte zum Abschluss benötigte Gleichung liefert die zu lösende Differenzial­gleichung. Bei $\beta \ne 0$ kann auch $x_{n+1}$ als primäre Unbekannte gewählt werden:

${\ddot{x}}_{n+1}=\frac{1}{\beta \mathrm{\Delta }{t}^2}(x_{n+1}-x_n)-\frac{1}{\beta \mathrm{\Delta }t}{\dot{x}}_n-\frac{\frac{1}{2}-\beta }{\beta }{\ddot{x}}_n$

${\dot{x}}_{n+1}=\frac{\gamma }{\beta \mathrm{\Delta }t}(x_{n+1}-x_n)+(1-\frac{\gamma }{\beta }){\dot{x}}_n+\mathrm{\Delta }t\frac{\beta -\frac{1}{2}\gamma }{\beta }{\ddot{x}}_n$.

Sind einmal die Werte $x_{n+1},{\dot{x}}_{n+1}$ und ${\ddot{x}}_{n+1}$ berechnet, wird der Zähler $n$ inkrementiert und die Berechnung fortgesetzt, bis das Ende des interessierenden Zeitintervalls erreicht ist.

Spezialfälle

Konstante Durchschnittsbeschleunigungsverfahren

Die ursprüngliche Form des Newmark-Verfahrens entspricht einer konstanten mittleren Beschleunigung

${\ddot{x}}^h(t)=\frac{1}{2}({\ddot{x}}_{n+1}+{\ddot{x}}_n)$

siehe Bild in der #Herleitung. Vergleich mit den obigen #Gleichungen (IV) und (V) führt auf

$\beta =\frac{1}{4}$ und $\gamma =\frac{1}{2}$

Gleichung	Folgerung
${\dot{x}}_{n+1}={\dot{x}}_n+\underset{t_n}{\overset{t_{n+1}}{\int }}{\ddot{x}}^h(\tau )\mathrm{d}\tau ={\dot{x}}_n+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}({\ddot{x}}_n+{\ddot{x}}_{n+1})$	$\gamma =\frac{1}{2}$
$\begin{array}{cc}{x}_{n+1}=& x_n+\underset{t_n}{\overset{t_{n+1}}{\int }}{\dot{x}}^h\mathrm{d}\tau \\ =& x_n+\underset{t_n}{\overset{t_{n+1}}{\int }}({\dot{x}}_n+\frac{\tau -t_n}{2}({\ddot{x}}_n+{\ddot{x}}_{n+1}))\mathrm{d}\tau \\ =& x_n+\mathrm{\Delta }t{\dot{x}}_n+\frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{4}({\ddot{x}}_n+{\ddot{x}}_{n+1})\end{array}$	$\beta =\frac{1}{4}$

Zentrale Differenzenquotienten

Vorlage:Hauptartikel Die zentralen Differenzenquotienten

entsprechen den obigen #Gleichungen (IV) und (V) mit

$\beta =0$ und $\gamma =\frac{1}{2}$.

Gleichung	Folgerung
$\begin{array}{ccc}{\ddot{x}}_n& =& \frac{1}{\mathrm{\Delta }{t}^2}(x_{n+1}-2x_n+x_{n-1})\\ \to x_{n-1}& =& \mathrm{\Delta }{t}^2{\ddot{x}}_n-x_{n+1}+2x_n\\ {\dot{x}}_n& =& \frac{1}{2\mathrm{\Delta }t}(x_{n+1}-x_{n-1})\\ \to \mathrm{\Delta }t{\dot{x}}_n& =& \frac{1}{2}(x_{n+1}-x_{n-1})=x_{n+1}-\frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{2}{\ddot{x}}_n-x_n\\ \to x_{n+1}& =& x_n+\mathrm{\Delta }t{\dot{x}}_n+\frac{\mathrm{\Delta }{t}^2}{2}{\ddot{x}}_n\end{array}$	$\beta =0$
$\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}{\ddot{x}}_n& =& \frac{1}{2\mathrm{\Delta }t}(x_{n+1}-2x_n+x_{n-1})\\ \frac{\mathrm{\Delta }t}{2}{\ddot{x}}_{n+1}& =& \frac{1}{2\mathrm{\Delta }t}(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n)\\ {\dot{x}}_n& =& \frac{1}{2\mathrm{\Delta }t}(x_{n+1}-x_{n-1})\\ {\dot{x}}_{n+1}& =& \frac{1}{2\mathrm{\Delta }t}(x_{n+2}-x_n)\\ \to \frac{\mathrm{\Delta }t}{2}({\ddot{x}}_n+{\ddot{x}}_{n+1})& =& \frac{1}{2\mathrm{\Delta }t}(x_{n+2}-x_n-x_{n+1}+x_{n-1})={\dot{x}}_{n+1}-{\dot{x}}_n\\ \to {\dot{x}}_{n+1}& =& {\dot{x}}_n+\frac{\mathrm{\Delta }t}{2}({\ddot{x}}_n+{\ddot{x}}_{n+1})\end{array}$	$\gamma =\frac{1}{2}$

Explizite Zeitintegration

Das explizite Zeitintegrationsverfahren gehört nicht zur Familie der (impliziten!) Newmark-beta Algorithmen und wird hier nur zu Vergleichszwecken angegeben. Die obigen Gleichungen (VI) und (VII) für die zentralen Differenzenquotienten sind äquivalent zu

$\begin{array}{cc}{\dot{x}}_{n+1/2}=& \frac{1}{\mathrm{\Delta }t}(x_{n+1}-x_n)\\ {\ddot{x}}_n=& \frac{1}{\mathrm{\Delta }t}({\dot{x}}_{n+1/2}-{\dot{x}}_{n-1/2})\end{array}$.

Hier fällt auf, dass die Geschwindigkeiten immer in der Mitte der Zeitintervalle berechnet werden. Mit der Annahme

$\begin{array}{ccc}{\dot{x}}_{n+1}& \approx & {\dot{x}}_{n+1/2}={\dot{x}}_{n-1/2}+\mathrm{\Delta }t{\ddot{x}}_n\\ x_{n+1}& =& x_n+\mathrm{\Delta }t{\dot{x}}_{n+1/2}=x_n+\mathrm{\Delta }t({\dot{x}}_{n-1/2}+\mathrm{\Delta }t{\ddot{x}}_n)\end{array}$

können die Werte $x_{n+1}$ und die Geschwindigkeiten ${\dot{x}}_{n+1}$ zum Zeitpunkt t_n+1 auf bereits bekannte Ergebnisse $x_n,{\dot{x}}_{n-1/2},{\ddot{x}}_n$ zurückgeführt werden und die Differenzial­gleichung liefert die Bestimmungsgleichung für die nunmehr einzige Unbekannte ${\ddot{x}}_{n+1}$.

Beispiel

Zeitintegration mit Algorithmen der Newmark Familie

Ein einfacher Schwinger gehorche in Abwesenheit einer Erregung der homogenen Differenzial­gleichung

$\ddot{x}(t)+2D\dot{x}(t)+x(t)=0$.

mit Dämpfungsgrad D. Die analytische Lösung dieser Gleichung lautet

$\begin{array}{cc}x(t)=\exp (-Dt)[& A\sin (\omega t)+B\cos (\omega t)]\\ \dot{x}(t)=\exp (-Dt)[& (A\omega -BD)\cos (\omega t)\\ & -(AD+B\omega )\sin (\omega t)]\end{array}$

mit $\omega =\sqrt{1-D^2}$, der Exponentialfunktion exp sowie dem Sinus und Cosinus sin bzw. cos. Mit den Parametern aus der Tabelle

Parameter	A	B	D	ω
Wert	13	84	Vorlage:Bruch	Vorlage:Bruch

resultieren die Anfangsauslenkung und -geschwindigkeit

$x(t=0)=x_0=84,\dot{x}(t=0)={\dot{x}}_0=0$

sowie eine Anfangsbeschleunigung

$\ddot{x}(t=0)={\ddot{x}}_0=-x_0-2D{\dot{x}}_0=-84$

Die Differenzialgleichung liefert eine Gleichung für die aktuellen Unbekannten zur Zeit t_n+1:

${\ddot{x}}_{n+1}+2D{\dot{x}}_{n+1}+x_{n+1}=0$

Zusammen mit obigen Gleichungen (IV) und (V) resultiert ein geschlossenes System von drei Gleichungen für drei Unbekannte, das von

$\begin{array}{cc}{\ddot{x}}_{n+1}=& \frac{[2D(\gamma -1)+(\beta -1/2)\mathrm{\Delta }t]{\ddot{x}}_n\mathrm{\Delta }t-(2D+\mathrm{\Delta }t){\dot{x}}_n-x_n}{1+2D\gamma \mathrm{\Delta }t+\beta \mathrm{\Delta }{t}^2}\\ {\dot{x}}_{n+1}=& {\dot{x}}_n+[(1-\gamma ){\ddot{x}}_n+\gamma {\ddot{x}}_{n+1}]\mathrm{\Delta }t\\ x_{n+1}=& -{\ddot{x}}_{n+1}-2D{\dot{x}}_{n+1}\end{array}$

gelöst wird. Die Zeitintegration mit dem Newmark-Verfahren im Intervall t∈[0,10π] und 𝚫t=0,5 liefert die Verläufe im Bild. Die mittlere Abweichung über N Zeitschritte

$e=\sqrt{\frac{\sum _{n=1}^N{(x_n-x(t_n))}^2}{N}}$

als Maß für die Genauigkeit enthält die Tabelle mit vier signifikanten Stellen:

Verfahren	β	γ	Mittlere Abweichung $e$
			𝚫t=0,5, N=64	𝚫t=0,05, N=630,	𝚫t=0,005, N=6285
Lineare Beschleunigung	1/6	1/2	0,8780	8,839e-03	8,850e-05
Zentrale Differenzen	0	1/2	1,262	1,239e-02	1,241e-04
Konstante mittlere Beschleunigung	1/4	1/2	1,859	1,861e-02	1,863e-04
Explizite Integration	–	–	8,478	7,644e-01	7,577e-02

In diesem Beispiel ergibt eine zehntel so große Zeitschrittweite eine etwa hundertfache Genauigkeit bei Benutzung der Newmark-beta-Verfahren und eine etwa zehnfache Genauigkeit der expliziten Integration.

Literatur

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