Konvexer Kern

In der Geometrie und Topologie spielt der konvexe Kern (engl. convex core, franz. âme convexe) eine wichtige Rolle vor allem in der Theorie hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten.

Definition

Es sei $M$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit oder ein CAT(0)-Raum. Der konvexe Kern $C(M)$ ist eine minimale nichtleere konvexe Teilmenge, für die die Inklusion $C(M)\to M$ eine Homotopieäquivalenz ist.

Konvexe Hülle der Limesmenge

Für Mannigfaltigkeiten negativer Schnittkrümmung kann man den konvexen Kern alternativ wie folgt definieren. Es sei $\tilde{M}$ die universelle Überlagerung, also $M=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }\tilde{M}$ für eine diskrete Gruppe von Isometrien. Sei $\mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Gamma })\in {\partial }_{\mathrm{\infty }}\tilde{M}$ die Limesmenge von $\mathrm{\Gamma }$ in der Sphäre im Unendlichen und $C(\mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Gamma }))\subset \tilde{M}$ ihre konvexe Hülle. Dann ist

$C(M)=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }C(\mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Gamma }))$.

Die konvexe Hülle der Limesmenge ist also die universelle Überlagerung des konvexen Kerns.

Für jeden Punkt $x\in \tilde{M}$ gibt es einen eindeutigen Punkt $r(x)\in C(\mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Gamma }))$ mit

$d(x,r(x))=\min \{d(x,y):y\in C(\mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Gamma }))\}$.

Die so definierte Abbildung $r:\tilde{M}\to C(\mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Gamma }))$ lässt sich zu einer stetigen Abbildung $r:\tilde{M}\cup \mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma })\to C(\mathrm{\Lambda }(\mathrm{\Gamma }))$ fortsetzen.

Rand des konvexen Kerns

Der Rand des konvexen Kerns ist im Allgemeinen keine glatte Mannigfaltigkeit. Im Falle hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten wird der Rand des konvexen Kerns als gefaltete Fläche (engl.: pleated surface) bezeichnet. Man betrachtet deshalb oft eine $\delta$-Umgebung des konvexen Kernes für ein (beliebiges) $\delta >0$. Der Rand der $\delta$-Umgebung ist eine glatte Mannigfaltigkeit.

Die Inklusion der $\delta$-Umgebung in $M$ ist ein Deformationsretrakt.

Im Fall hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten ist die $\delta$-Umgebung des konvexen Kerns homöomorph zur Kleinschen Mannigfaltigkeit $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }(H^3\cup \mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma }))$, wobei $\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma })$ den Diskontinuitätsbereich für die Wirkung von $\mathrm{\Gamma }$ auf der Sphäre im Unendlichen bezeichnet. Insbesondere ist in diesem Fall der Rand des konvexen Kerns homöomorph zu $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Gamma })$.

Konvex-kokompakte und geometrisch endliche Gruppen

Eine diskrete Gruppe $\mathrm{\Gamma }$ von Isometrien eines CAT(0)-Raumes $\tilde{M}$ (zum Beispiel des hyperbolischen Raumes $H^n$) heißt konvex-kokompakt, wenn der konvexe Kern von $M=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }\tilde{M}$ kompakt ist. Sie heißt geometrisch endlich, wenn eine (also jede) $\delta$-Umgebung des konvexen Kernes endliches Volumen hat.

Literatur

• William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds online
• Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998, ISBN 0-19-850062-9
• Canary, R. D.; Epstein, D. B. A.; Green, P. L.: Notes on notes of Thurston. With a new foreword by Canary. London Math. Soc. Lecture Note Ser., 328, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.
• Epstein, D. B. A.; Marden, A.: Convex hulls in hyperbolic space, a theorem of Sullivan, and measured pleated surfaces. Fundamentals of hyperbolic geometry: selected expositions, 117–266, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 328, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2006.
• Bridgeman, Martin; Canary, Richard D.: The Thurston metric on hyperbolic domains and boundaries of convex hulls. Geom. Funct. Anal. 20 (2010), no. 6, 1317–1353. pdf