Kofaserung

In der Mathematik sind Kofaserungen ein wichtiger Begriff der algebraischen Topologie.

Definition

Eine stetige Abbildung $i:A\to X$ ist eine Kofaserung, wenn sie die Homotopieerweiterungseigenschaft erfüllt, d. h. wenn es zu stetigen Abbildungen

$f:X\to Y,h:A\times [0,1]\to Y$

mit

$f\circ i=h\circ i_0$

(für die durch $i_0(x)=(x,0)$ definierte Inklusive $i_0:A\to A\times [0,1]$) immer eine stetige Abbildung

$\bar{h}:X\times [0,1]\to Y$

mit

$\bar{h}\circ (i\times id)=h$

und

$\bar{h}{|}_{X\times \{0\}}=f\circ {\pi }_X$

(für die natürliche Projektion ${\pi }_X:X\times \{0\}\to X$) gibt.

Falls $i:A\to X$ die Inklusion eines Unterraumes $A\subset X$ ist, dann ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass es eine Retraktion

$p:X\times [0,1]\to A\times [0,1]\cup X\times \left\{0\right\}$

gibt.

Beispiele

• Die Inklusion

$S^{n-1}\to D^n$

ist eine Kofaserung.

• Für jeden CW-Komplex $X$ und alle $m\le n$ ist die Inklusion

$X_m\to X_n$

des m-Skeletts in das n-Skelett eine Kofaserung. Insbesondere sind CW-Komplexe kofibrant.

Kofaser

Die Homotopie-Kofaser einer (beliebigen) stetigen Abbildung $f:A\to X$ ist ihr Abbildungskegel $C_f$. Für jede verallgemeinerte Homologietheorie $H_{*}$ hat man eine lange exakte Sequenz

$\dots \to H_{*+1}(C_f)\to H_{*}(A)\to H_{*}(X)\to H_{*}(C_f)\to H_{*-1}(A)\to \dots$

Falls die Abbildung $f$ eine Kofaserung ist, bezeichnet man die Homotopie-Kofaser $C_f$ als Kofaser.

Wenn eine Inklusion $f:A\to X$ eine Kofaserung ist, dann ist die Kofaser $C_f$ Homotopie-äquivalent zum Quotientenraum $X/A$ und es gilt

$H_{*}(X,A)=H_{*}(C_f)=H_{*}(X/A)$.

Literatur

• Whitehead, George W.: Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. ISBN 0-387-90336-4