Nielsen-Transformation

In der Mathematik sind Nielsen-Transformationen ein wichtiges Hilfsmittel der kombinatorischen Gruppentheorie, sie sind nach dem Mathematiker Jakob Nielsen benannt.

Definition

Sei $G$ eine Gruppe und $(g_1,\dots ,g_n)$ ein geordnetes n-Tupel von Elementen aus $G$. Eine elementare Nielsen-Transformation ist eine der folgenden drei Typen von Ersetzungen:

• Für ein $i\in \{1,\dots ,n\}$ ersetze $g_i$ durch $g_i^{-1}$.
• Für zwei $i=j\in \{1,\dots ,n\}$ vertausche $g_i$ und $g_j$.
• Für zwei $i=j\in \{1,\dots ,n\}$ ersetze $g_i$ durch $g_i{g}_j$.

Eine Nielsen-Transformation ist eine Folge endlich vieler elementarer Nielsen-Transformationen. Zwei geordnete Tupel heißen Nielsen-äquivalent, wenn sie durch eine Nielsen-Transformation auseinander hervorgehen.

Anwendungen

Erzeugendensysteme freier Gruppen

Sei $F_n$ die freie Gruppe mit $n$ Erzeugern $x_1,\dots ,x_n$. Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem $n$ Elemente und ein $n$-Tupel $g_1,\dots ,g_n$ ist genau dann ein Erzeugendensystem von $F_n$, wenn die geordneten Tupel $(x_1,\dots ,x_n)$ und $(g_1,\dots ,g_n)$ Nielsen-äquivalent sind.

Erzeugendensysteme von Flächengruppen

Sei ${\pi }_1{S}_g=⟨a_1,b_1,\dots ,a_g,b_g\mid {\mathrm{\Pi }}_{i=1}^g[a_i,b_i]=1⟩$ die Flächengruppe vom Geschlecht $g$. Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem $2g$ Elemente und ein $2g$-Tupel $h_1,\dots ,h_{2g}$ ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${\pi }_1{S}_g$, wenn die geordneten Tupel $(a_1,b_1,\dots ,a_g,b_g)$ und $(h_1,\dots ,h_{2g})$ Nielsen-äquivalent sind.