Standardmatrix

Eine Standardmatrix, Standard-Einheitsmatrix oder Matrixeinheit ist in der Mathematik eine Matrix, bei der genau ein Eintrag eins ist und alle anderen Einträge null sind. Jede Standardmatrix lässt sich als dyadisches Produkt von kanonischen Einheitsvektoren darstellen. Die Menge der Standardmatrizen bildet die Standardbasis für den Matrizenraum. Sie werden unter anderem zur Definition von Elementarmatrizen verwendet, die beim gaußschen Eliminationsverfahren zum Einsatz kommen.

Definition

Ist $R$ ein Ring mit Nullelement $0$ und Einselement $1$, dann ist die Standardmatrix $E_{ij}=(e_{kl})\in R^{m\times n}$ die Matrix mit den Einträgen

$e_{kl}=\{\begin{array}{cc}1& \text{für }i=k\text{ und }j=l\\ 0& \text{sonst}\end{array}$

für $k=1,\dots ,m$ und $l=1,\dots ,n$. Bei der Standardmatrix $E_{ij}$ ist demnach der Eintrag an der Stelle $(i,j)$ gleich eins und alle anderen Einträge gleich null. Eine Standardmatrix wird auch als Standard-Einheitsmatrix oder Matrixeinheit bezeichnet und gelegentlich durch $e_{ij}$ statt $E_{ij}$ notiert.

Beispiele

Ist $R$ der Körper der reellen Zahlen und bezeichnen $0$ und $1$ die Zahlen Null und Eins, so sind Beispiele für Standardmatrizen der Größe $3\times 3$:

$E_{11}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),E_{12}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),E_{23}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

Eigenschaften

Darstellungen

Jede Standardmatrix $E_{ij}\in R^{m\times n}$ lässt sich als dyadisches Produkt der beiden kanonischen Einheitsvektoren $e_i\in R^m$ und $e_j\in R^n$ darstellen, das heißt

$E_{ij}=e_i\otimes e_j=e_i\cdot (e_j{)}^T$,

wobei $e^T$ der transponierte Vektor zu $e$ ist. Mit Hilfe des Kronecker-Deltas lässt sich eine Standardmatrix auch durch

$E_{ij}=({\delta }_{ik}{\delta }_{jl}{)}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{k=1,\dots ,m}{l=1,\dots ,n}}=({\delta }_{(i,j),(k,l)}{)}_{\genfrac{}{}{0ex}{}{k=1,\dots ,m}{l=1,\dots ,n}}$

notieren.

Symmetrie

Für die Transponierte einer Standardmatrix $E_{ij}\in R^{m\times n}$ gilt

$(E_{ij}{)}^T=E_{ji}$.

Damit sind nur die Standardmatrizen $E_{ii}\in R^{n\times n}$ symmetrisch.

Produkt

Für das Produkt zweier Standardmatrizen $E_{ij}\in R^{m\times n}$ und $E_{kl}\in R^{n\times p}$ gilt

$E_{ij}\cdot E_{kl}=\{\begin{array}{cc}{E}_{il}& \text{falls }j=k\\ 0& \text{sonst,}\end{array}$

wobei $0$ die Nullmatrix der Größe $m\times p$ ist.

Kenngrößen

Für den Rang einer Standardmatrix gilt

$\mathrm{rang}(E_{ij})=1$.

Für die Determinante und die Spur einer quadratischen $m\times m$-Standardmatrix gilt entsprechend

$\det (E_{ij})=\{\begin{array}{cc}1& \text{falls }m=1\\ 0& \text{sonst}\end{array}$   und   $\mathrm{spur}(E_{ij})={\delta }_{ij}$.

Das charakteristische Polynom einer quadratischen Standardmatrix $E_{ij}\in K^{n\times n}$ über einem Körper $K$ ergibt sich zu

$\chi (\lambda )=\{\begin{array}{cc}{\lambda }^{n-1}(\lambda -1)& \text{falls }i=j\\ {\lambda }^n& \text{sonst.}\end{array}$

Im Fall $i\ne j$ ist demnach der einzige Eigenwert $0$. Für $i=j$ existiert zusätzlich noch der Eigenwert $1$ mit einfacher Vielfachheit und zugehörigem Eigenvektor $e_i$.

Verwendung

Matrixeinträge

Mit Hilfe von Standardmatrizen $E_{ji}\in R^{n\times m}$ können auch einzelne Matrixeinträge als Spur dargestellt werden. Ist $A\in R^{m\times n}$, dann gilt

$(A{)}_{ij}=\mathrm{spur}(A{E}_{ji})=\mathrm{spur}(E_{ji}A)$.

Für das Produkt zweier Matrizen $A\in R^{m\times p}$ und $B\in R^{p\times n}$ gilt entsprechend

$(AB{)}_{ij}=\mathrm{spur}(B{E}_{ji}A)$.

Standardbasis

Die Menge der Standardmatrizen über einem gegebenen Körper $\{E_{ij}\in K^{m\times n}\mid i=1,\dots ,m,j=1,\dots ,n\}$ bildet die Standardbasis für den Vektorraum der Matrizen. Jede Matrix $A\in K^{m\times n}$ lässt sich somit als Linearkombination von Standardmatrizen durch

$A=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{E}_{ij}$

mit $a_{ij}\in K$ darstellen. So bilden die vier Standardmatrizen $E_{11}$, $E_{12}$, $E_{21}$ und $E_{22}$ die Standardbasis des Raums der $(2\times 2)$-Matrizen und man erhält beispielsweise

$\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 0& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 3& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=2E_{11}+4E_{12}+3E_{21}+1E_{22}$.

Elementarmatrizen

Standardmatrizen werden auch zur Darstellung der drei Typen von Elementarmatrizen der Form

$\begin{array}{cc}{R}_{ij}(\alpha )& =I+\alpha E_{ij}\\ S_i(\gamma )& =I+(\gamma -1)E_{ii}\\ T_{i,j}& =I-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}\end{array}$

mit $I$ als der Einheitsmatrix und $\alpha ,\gamma \in K$ verwendet. Durch Multiplikation von links mit einer solchen Elementarmatrix werden Reihenoperationen, Skalierungen und Transpositionen an einer gegebenen Matrix durchgeführt. Diese Elementarmatrizen kommen bei der Beschreibung des gaußschen Eliminationsverfahrens zur Lösung linearer Gleichungssysteme zum Einsatz.

Literatur

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