Heegaard-Zerlegung

In der Mathematik sind Heegaard-Zerlegungen ein wichtiges Hilfsmittel der 3-dimensionalen Topologie. Sie sind nach dem dänischen Mathematiker Poul Heegaard benannt.

Definition

Eine Heegaard-Zerlegung einer geschlossenen 3-dimensionalen Mannigfaltigkeit $M$ besteht aus zwei Henkelkörpern $H_1$ und $H_2$ und einem Homöomorphismus $f:\partial H_1\to \partial H_2$, so dass $M$ aus $H_1$ und $H_2$ durch Verkleben mittels $f$ entsteht, d. h., man hat einen Homöomorphismus

$M\cong (H_1\cup H_2)/\sim$

für die durch

$x\sim y⟺y=f(x),x\in \partial H_1,y\in \partial H_2$

gegebene Relation.

Das Geschlecht der Flächen $\partial H_1\cong \partial H_2$ heißt das Geschlecht der Heegaard-Zerlegung. Die in $M$ eingebettete Fläche $\partial H_1=\partial H_2\subset M$ heißt Heegaard-Fläche der Heegaard-Zerlegung.

Das Heegaard-Geschlecht $g(M)$ ist das Minimum des Geschlechts über alle Heegaard-Zerlegungen von $M$. Die Heegaard-Euler-Charakteristik ${\chi }_{-}^h(M)$ ist das Negative des Maximums der Euler-Charakteristik über alle Heegaard-Flächen, also ${\chi }_{-}^h(M)=2g(M)-2$.

Der Heegaard-Gradient von $M$ ist das Infimum $\inf \frac{{\chi }_{-}^h(M_i)}{d_i}$ über alle endlichen Überlagerungen von $M$, wobei $d_i$ den Grad der Überlagerung $M_i\to M$ bezeichnet.

Existenz

Aus der Morse-Theorie folgt, dass jede geschlossene orientierbare 3-Mannigfaltigkeit eine Heegaard-Zerlegung besitzt. Alternativ ergibt sich die Existenz von Heegaard-Zerlegungen auch aus der Triangulierbarkeit von 3-Mannigfaltigkeiten, man kann die Umgebung des 1-Skeletts einer Triangulierung als Henkelkörper wählen, sein Komplement ist dann als Umgebung des 1-Skeletts der dualen Triangulierung ebenfalls ein Henkelkörper.

Beispiele

• Standard-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre: Seien $H_1,H_2$ Henkelkörper vom Geschlecht $0$ (d. h. Vollkugeln) und $f=id:S^2\to S^2$, dann ist $(H_1\cup H_2)/\sim \cong S^3$.
• Seien $H_1,H_2$ Henkelkörper vom Geschlecht $1$ (d. h. Volltori) und $f=id:T^2\to T^2$, dann ist $(H_1\cup H_2)/\sim \cong S^2\times S^1$.
• Geschlecht-1-Heegaard-Zerlegung der 3-Sphäre: Seien $H_1,H_2$ Henkelkörper vom Geschlecht $1$ und $f:T^2\to T^2$ bilde die Longitude auf den Meridian und den Meridian auf die Longitude ab, dann ist $(H_1\cup H_2)/\sim \cong S^3$.
• Standard-Heegaard-Zerlegung der Linsenräume: Seien $H_1,H_2$ Henkelkörper vom Geschlecht $1$ und $f:T^2\to T^2$ sei durch eine beliebige Matrix $A\in SL(2,\mathbb{Z})$ gegeben, dann ist $(H_1\cup H_2)/\sim \cong L(p,q)$ ein Linsenraum.
• Heegaard-Zerlegung von Flächenbündeln: Jedes Flächenbündel mit einer Faser vom Geschlecht $g$ hat eine Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht $2g+1$. Insbesondere ist der Heegaard-Gradient eines Flächenbündels $0$. Weil nach dem Satz von Agol jede 3-Mannigfaltigkeit von einem Flächenbündel endlich überlagert wird, ist damit der Heegaard-Gradient stets trivial.

Stabilisierungen, Reduzibilität, Irreduzibilität

Aus einer Heegaard-Zerlegung einer Mannigfaltigkeit kann man durch Stabilisierung (Ankleben zusätzlicher Henkel, für die jeweils Longituden auf Meridiane und Meridiane auf Longituden abgebildet werden) weitere Heegard-Zerlegungen derselben 3-Mannigfaltigkeit mit Heegaard-Flächen höheren Geschlechts erhalten. Diese durch Stabilisierung erhaltenen Heegaard-Zerlegungen sind reduzibel, d. h., es gibt in der Heegaard-Fläche eine geschlossene Kurve, die in beiden Henkelkörpern (aber nicht in der Heegaard-Fläche) eine Kreisscheibe berandet. Eine Heegaard-Zerlegung heißt irreduzibel, wenn es keine solche Kurve gibt. Das Lemma von Haken besagt, dass Heegaard-Zerlegungen einer reduziblen 3-Mannigfaltigkeit immer reduzibel sind.

Eine Heegaard-Zerlegung heißt schwach reduzibel, wenn es in der Heegaard-Fläche zwei disjunkte (nicht null-homotope) geschlossene Kurven gibt, die Kreisscheiben in unterschiedlichen Henkelkörpern der Heegaard-Zerlegung beranden. Andernfalls heißt die Heegaard-Zerlegung stark irreduzibel. Casson und Gordon bewiesen 1987, dass alle irreduziblen Heegaard-Zerlegungen stark irreduzibel sind.

Mannigfaltigkeiten mit Rand

Für eine 3-Mannigfaltigkeit mit Rand $M$ definiert man Heegaard-Zerlegungen analog als Zerlegungen $M=H_1\cup H_2$ in zwei Kompressionskörper mit ${\partial }_{+}{H}_1\cup {\partial }_{+}{H}_2$.

Eine verallgemeinerte Heegaard-Zerlegung von $M$ ist eine Zerlegung in (nicht notwendig zusammenhängende) Kompressionskörper $V_i,W_i,i=1,\dots ,n$ und Flächen $H_i,i=1,\dots ,n$ mit ${\partial }_{+}{V}_i={\partial }_{+}{W}_i=H_i$ und ${\partial }_{-}{W}_i={\partial }_{-}{V}_{i+1}$. Die Vereinigung der Kompressionskörper muss ganz $M$ sein und ihre inneren Kerne sollen disjunkt sein.

Literatur

• Saveliev, Nikolai: Lectures on the topology of 3-manifolds. An introduction to the Casson invariant. Second revised edition. de Gruyter Textbook. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2012. ISBN 978-3-11-025035-0

Weblinks

• Jesse Johnson: Notes on Heegaard splittings