Verallgemeinerte Fibonacci-Folge

Eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge ist entweder eine Erweiterung der Fibonacci-Folge auf größere Definitionsbereiche als die natürlichen Zahlen oder eine Verallgemeinerung des Bildungsgesetzes.

Erweiterung auf größere Definitionsbereiche

Erweiterung auf alle ganzen Zahlen

Wenn man das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folgen umkehrt, erhält man

$f_{n-2}=f_n-f_{n-1}$.

Mit dieser Formel kann man rekursiv Fibonacci-Zahlen zu negativen ganzen Zahlen berechnen. Ferner gilt die Formel von Moivre-Binet auch für negative ganze Zahlen: Für den goldenen Schnitt $\phi$ gilt:

$1+\frac{1}{\phi }=\phi \iff \frac{1}{\phi }=\phi -1\iff 1-\phi -1=\frac{1}{1-\phi }$

Setzt man $\psi :=1-\phi$, so folgt aus

$\frac{{\phi }^0-{\psi }^0}{\sqrt{5}}=0=f_0$, $\frac{{\phi }^1-{\psi }^1}{\sqrt{5}}=1=f_1$

und

$f_{-(n+1)}=f_{-(n-1)-2}=f_{-(n-1)}-f_{-n}$

$=\frac{{\phi }^{-n+1}-{\psi }^{-n+1}}{\sqrt{5}}-\frac{{\phi }^{-n}-{\psi }^{-n}}{\sqrt{5}}=\frac{\frac{\phi -1}{{\phi }^n}-\frac{\psi -1}{{\psi }^n}}{\sqrt{5}}=\frac{{\phi }^{-(n+1)}-{\psi }^{-(n+1)}}{\sqrt{5}}$.

Der Induktionsschluss ergibt

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}_0:f_{-n}=\frac{{\phi }^{-n}-{\psi }^{-n}}{\sqrt{5}}$,

so dass schließlich die Formel von Moivre-Binet

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}:f_n=\frac{{\phi }^n-{\psi }^n}{\sqrt{5}}$

für alle ganzen Zahlen gilt.

Erweiterung auf alle komplexen Zahlen

Die geschlossene Form für die $n$-te Fibonacci-Zahl lautet für ganze Zahlen (siehe oben):

$f_n=\frac{{\mathrm{\Phi }}^n-(1-\mathrm{\Phi }{)}^n}{\sqrt{5}},n\in \mathbb{Z}$,

wobei $\mathrm{\Phi }$ der goldene Schnitt ist. Für den goldenen Schnitt $\mathrm{\Phi }$ gilt die folgende Gleichung:

$1+\frac{1}{\mathrm{\Phi }}=\mathrm{\Phi }\iff (-1)\frac{1}{\mathrm{\Phi }}=1-\mathrm{\Phi }$

$\Rightarrow (1-\mathrm{\Phi }{)}^n=(-1{)}^n{\left(\frac{1}{\mathrm{\Phi }}\right)}^n=(-1{)}^n{\mathrm{\Phi }}^{-n}$

Ist $n$ eine ganze Zahl, dann gilt jedoch:

$(-1{)}^n=\cos (n\pi )$

Deshalb ist die stetige und analytische Funktion

$\mathrm{Fib}(x)=\frac{{\mathrm{\Phi }}^x-\cos (x\pi ){\mathrm{\Phi }}^{-x}}{\sqrt{5}}$

eine Fortsetzung der Fibonacci-Zahlen auf den komplexen Zahlen.

Verallgemeinerung des Bildungsgesetzes

Lucas-Folge

Die Fibonacci-Folge ist ein Spezialfall der Lucas-Folge.

Folgen mit ähnlichem Bildungsgesetz

Folgen in den komplexen Zahlen

Sei $(g_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Folge in $ℂ$, die für $n\ge 0$ durch das rekursive Bildungsgesetz

$g_{n+2}=g_{n+1}+g_n$

definiert ist, so ist eine solche Folge eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge, da diese entsteht, wenn man $g_0=0$ und $g_1=1$ setzt. Für das $n$-te Folgenglied dieser Folge gibt es einen geschlossenen Ausdruck:

$g_n=f_n\cdot g_1+f_{n-1}\cdot g_0,n\ge 0$,

wobei $f_n$ die $n$-te Fibonacci-Zahl ist. Dies folgt aus vollständiger Induktion mit Induktionsanfang

$g_0=0\cdot g_1+1\cdot g_0=f_0\cdot g_1+f_{-1}\cdot g_0$

und Induktionsschritt

$g_n=g_{n-1}+g_{n-2}=g_1\cdot (f_{n-1}+f_{n-2})+g_0\cdot (f_{n-2}+f_{n-3})=g_1\cdot f_n+g_0\cdot f_{n-1}$

Folgen von Vektoren

Ist $V$ ein Vektorraum und sind $g_0,g_1\in V$, kann man eine Folge $(g_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ von Vektoren $g_n\in V$ rekursiv definieren durch

$g_{n+2}=g_{n+1}+g_n,n\ge 0$.

Wie oben gilt dann die Formel

$g_n=f_n\cdot g_1+f_{n-1}\cdot g_0,n\ge 0$.

Vektorraum der Fibonacci-Folgen

Wegen der Gleichung

$g_n=f_n\cdot g_1+f_{n-1}\cdot g_0,n\ge 0$

ist die Menge der Folgen $(g_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ mit $g_{n+2}=g_{n+1}+g_n$ ein zweidimensionaler Teilraum des unendlichdimensionalen $ℂ$-Vektorraums aller komplexen Folgen, wobei $(f_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ und $(f_{n-1}{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ (mit $f_{-1}:=1$) eine Basis bilden.