Projektionssatz (Dreieck)

Flächengleichheit der beiden grauen Rechtecke:
mit $c=AB,b=AC$
und $p_{bc}=AE,p_{cb}=AD$
gilt $|c|\cdot |p_{bc}|=|b|\cdot |p_{cb}|$

In der Elementargeometrie ist der Projektionssatz ein Satz, der eine Verallgemeinerung des euklidischen Kathetensatzes auf beliebige Dreiecke formuliert:

In einem beliebigen Dreieck haben zu je Seiten diejenigen Rechtecke, welche jeweils aus einer der beiden Seiten und der orthogonalen Projektion der anderen auf diese gebildet werden, denselben Flächeninhalt.

In einem beliebigen Dreieck $\mathrm{△}ABC$ mit Seiten a, b und c bezeichne p_xy die Projektion der Seite x auf die Seite y, dann gilt:

$\begin{array}{cc}|c|\cdot |p_{bc}|& =|b|\cdot |p_{cb}|\\ |a|\cdot |p_{ba}|& =|b|\cdot |p_{ab}|\\ |c|\cdot |p_{ac}|& =|a|\cdot |p_{ca}|\\ \end{array}$

In einem rechtwinkligen Dreieck $\mathrm{△}ABC$ mit einem rechten Winkel in C entsprechen die Projektionen p_cb und p_ca den Seiten b und a. Damit liefert der Projektionssatz dann:

$\begin{array}{cc}|c|\cdot |p_{bc}|& =|b{|}^2\\ |c|\cdot |p_{ac}|& =|a{|}^2\end{array}$

Man erhält also den Kathetensatz des Euklid.

Literatur

• Hans Schupp: Elementargeometrie (Uni-Taschenbücher 669 Mathematik). Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 117–118