Pascalsches Simplex

Die pascalschen Simplizes sind – analog zum pascalschen Dreieck und zum pascalschen Tetraeder – geometrische Darstellungen von Multinomialkoeffizienten. Im pascalschen d-Simplex ist jede Zahl die Summe von d über ihr stehenden Zahlen. Die vom pascalschen Dreieck und Tetraeder bekannten Eigenschaften lassen sich auf pascalsche Simplizes übertragen.

Zum Begriff

Ein pascalsches Simplex lässt sich in jeder Dimension $d$ ($d\ge 1$ natürliche Zahl) vorstellen: Jedem Punkt mit ganzzahligen Koordinaten lässt sich über diese der Multinomialkoeffizient $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,\dots ,k_d})$ zuordnen ($n,k_1,\dots ,k_{d-1}$ sind die jeweiligen Koordinaten, $k_d$ ergibt sich durch $n-k_1-\dots -k_{d-1}$). Die Einhüllende der Punkte, die nicht Null sind, bilden dann ein $d$-dimensionales, in $n$-Richtung unbeschränktes „Simplex“ (üblicherweise ist ein Simplex beschränkt).

Eigenschaften

• Die $n$-te Ebene eines pascalschen Simplex (d. h. die nicht verschwindenden Einträge für ein festes $n$) für $n>0$ lässt sich aus der darüberliegenden Ebene (d. h. für $n-1$) berechnen: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,\dots ,k_d})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k_1-1,\dots ,k_d})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k_1,k_2-1,\dots ,k_d})+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k_1,\dots ,k_d-1})$. Auf der Ebene $0$ ist der einzige Eintrag eine $1$, aus dem sich dann rekursiv alle weiteren ergeben.
• Die Summe aller Zahlen im n-ten (d-1)-Teilsimplex beträgt $d^{n-1}$.
• Die begrenzenden (d-1)-Simplizes sind gleich dem pascalschen (d-1)-Simplex. Dies lässt sich durch $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,...,k_{d-1},0})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,...,k_{d-1}})$ ausdrücken.