Einfach-gleichmäßige Konvergenz

Die einfach-gleichmäßige Konvergenz ist ein Konvergenzbegriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Es handelt sich um eine Abschwächung der gleichmäßigen Konvergenz. Definiert wurde der Begriff unter anderem von Ulisse Dini.^[1]

Definition

Sei $D_{f} \subset ℝ$ eine Teilmenge. Eine punktweise konvergente Funktionenfolge $(f_{n} : D_{f} \to ℝ)_{n \in ℕ}$ heißt gegen $f$ einfach-gleichmäßig konvergent, wenn

\forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall x \in D_{f} : Card ({n ∣ n \geq N, | f_{n} (x) - f (x) | < ε}) = ℵ_{0}

gilt. Mit $ℵ_{0}$ ist die Mächtigkeit von $ℕ$ gemeint.

Eigenschaften

Jede gleichmäßig konvergente Funktionenfolge ist auch einfach-gleichmäßig konvergent.

Einzelnachweise

↑ Ernest William Hobson: The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series. 2nd edition. Cambridge University press, Cambridge 1921, S. 105–106.

[1] Ernest William Hobson: The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of Fourier's Series. 2nd edition. Cambridge University press, Cambridge 1921, S. 105–106.

[1]

Einfach-gleichmäßige Konvergenz

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