Δ-Lemma

Das $\mathrm{\Delta }$-Lemma ist ein mathematischer Satz aus der kombinatorischen Mengenlehre. Es findet Anwendung bei der Entwicklung der Forcing-Methode.

Aussage

Sei $D$ eine Familie von Mengen, und $d$ eine weitere Menge. $D$ heißt ein $\mathrm{\Delta }$-System mit Wurzel $d$, falls gilt:

• $\mathrm{\forall }x\ne y\in D:x\cap y=d$, der Schnitt zweier Mengen aus $D$ ist also konstant.

Das $\mathrm{\Delta }$-Lemma besagt nun: Jede überabzählbare Familie endlicher Mengen enthält ein überabzählbares $\mathrm{\Delta }$-System.

Verallgemeinerung

Das Lemma lässt sich wie folgt verallgemeinern: Seien $\lambda <\mu$ Kardinalzahlen mit

• $\mu$ ist regulär: $\mu =cf(\mu )$
• Für alle $\alpha <\mu$ gilt: ${\alpha }^{<\lambda }:=\underset{\gamma <\lambda }{\sup }{\alpha }^{\gamma }<\mu$ (siehe Kardinalzahlarithmetik),

dann gibt es für jede Familie $I$ mit $\left|I\right|=\mu$ und $\left|a\right|<\lambda$ für $a\in I$ ein $\mathrm{\Delta }$-System der Mächtigkeit $\mu$. Setzt man $\lambda ={\mathrm{\aleph }}_0$ und $\mu ={\mathrm{\aleph }}_1$, so erhält man obigen Spezialfall.

Literatur

• Thomas Jech: Set Theory. 3rd millennium edition, revised and expanded, corrected 4th print. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-44085-2.
• Kenneth Kunen: Set Theory. An Introduction to Independence Proofs (= Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Bd. 102). North-Holland Publishing Co., Amsterdam u. a. 1980, ISBN 0-444-85401-0.