Banachlimes

In der Funktionalanalysis ist ein Banachlimes, benannt nach Stefan Banach, ein dem Grenzwert ähnliches Funktional auf dem Folgenraum ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$.

Definition

Im Folgenden bezeichne $T$ den Linksshift

$T(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=(x_{n+1}{)}_{n\in \mathbb{N}}$

und $e=(1,1,1,\dots )$ die Folge, die nur aus Einsen besteht.

Ein Banachlimes ist ein stetiges, lineares Funktional $\ell :{\ell }^{\mathrm{\infty }}\to ℝ$, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

• $\ell (e)=1,$
• für alle $x\in {\ell }^{\mathrm{\infty }}$ gilt
  • $\ell (x)=\ell (Tx),$
  • falls $x_n\ge 0$ für alle $n\in \mathbb{N}$, so ist auch $\ell (x)\ge 0.$

Eigenschaften

Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach lässt sich beweisen, dass ein Banachlimes existiert. Jedoch ist er nicht eindeutig bestimmt. Aus den in der Definition geforderten Eigenschaften lässt sich ferner folgern, dass $\ell$ den klassischen Limes, der auf dem Raum der konvergenten Folgen $c$ definiert ist, nach ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ fortsetzt:

$\ell (x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$ für $x\in c$

Es gibt nicht-konvergente Folgen, die einen Banachgrenzwert besitzen. Ein einfaches Beispiel für eine solche ist

$x=(1,0,1,0,\dots )$

Aufgrund der Linearität von $\ell$ und der Invarianz unter $T$ ist der Banachgrenzwert von $x$ gleich $0,5$.

Der Banachgrenzwert ist ein Beispiel für ein Funktional aus $({\ell }^{\mathrm{\infty }}{)}^{\prime }$, das nicht von der Gestalt

$x\mapsto \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{x}_n,c\in {\ell }^1$

ist.

Literatur

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