Irrationale Rotationsalgebra

Die irrationalen Rotationsalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet. Es handelt sich um eine Klasse von C*-Algebren, die sich aus der C*-Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf dem Einheitskreis zusammen mit einer Rotation dieses Einheitskreises um einen irrationalen Winkel ergeben.

Konstruktion

V dreht den Definitionsbereich von Funktionen $𝕋\to ℂ$

Im Folgenden sei $\theta$ eine fest gewählte irrationale Zahl. Betrachte den $ℂ$-Hilbertraum $L^2(ℝ/\mathbb{Z})$ der quadratintegrierbaren Funktionen, wobei wie üblich die Kreisgruppe $ℝ/\mathbb{Z}$ mittels $t\mapsto e^{2\pi it}$ mit dem Einheitskreis $𝕋=\{z\in ℂ:|z|=1\}$ identifiziert wird, und darauf die beiden wie folgt definierten unitären Operatoren $U$ und $V$:

$Uf:=zf$, wobei $z(t)=e^{2\pi it}$

und

$Vf(t):=f(t-\theta ).$

$U$ ist ein Multiplikationsoperator und $V$ rotiert eine Funktion um den Winkel $\theta$.

Die von $U$ und $V$ erzeugte C*-Algebra $C^{*}(U,V)\subset B(L^2(𝕋))$ heißt daher die irrationale Rotationsalgebra zum Winkel $\theta$ und wird mit $A_{\theta }$ bezeichnet.

Eigenschaften

• Leicht bestätigt man $UV=e^{2\pi i\theta }VU$, in der Tat ist

$UVf(t)=U(Vf)(t)=z(t)Vf(t)$

$=z(t)f(t-\theta )=e^{2\pi i\theta }z(t-\theta )f(t-\theta )=e^{2\pi i\theta }(zf)(t-\theta )$

$=e^{2\pi i\theta }(Uf)(t-\theta )=e^{2\pi i\theta }VUf(t)$.

• Die irrationale Rotationsalgebra hat folgende universelle Eigenschaft, die sie bis auf Isomorphie charakterisiert: Ist $A$ eine C*-Algebra, die von zwei unitären Operatoren $\tilde{U}$ und $\tilde{V}$ erzeugt wird, die die Relation $\tilde{U}\tilde{V}=e^{2\pi i\theta }\tilde{V}\tilde{U}$ erfüllen, so gibt es genau einen *-Isomorphismus $A_{\theta }\to A$ mit $U\mapsto \tilde{U}$ und $V\mapsto \tilde{V}$.

• $A_{\theta }$ ist einfach, das heißt die Algebra enthält keine zweiseitigen *-Ideale außer $\{0\}$ und sich selbst.

• Es gibt eine eindeutige Spur $\tau :A_{\theta }\to ℂ$, das heißt, es gibt genau ein lineares Funktional $\tau :A_{\theta }\to ℂ$ mit $\tau (a^{*}a)\ge 0$ für alle $a\in A_{\theta }$, $\tau (ab)=\tau (ba)$ für alle $a,b\in A_{\theta }$ und $\tau (I)=1$, wobei $I$ das Einselement in $A_{\theta }$ sei.

• Die Gruppe der invertierbaren Elemente liegt dicht in $A_{\theta }$.

• Die irrationalen Rotationsalgebren sind nuklear.

Alternative Konstruktion

Hier wird eine alternative Konstruktion der irrationalen Rotationsalgebra auf dem Folgenraum ${\ell }^2={\ell }^2(\mathbb{Z})$ mit der Orthonormalbasis $(e_n{)}_{n_{\in }\mathbb{Z}}$ vorgestellt. Man definiere die unitären Operatoren $U,V\in B({\ell }^2)$ durch:

$U{e}_n=e_{n+1}$ (zweiseitiger Shift),

$V{e}_n=e^{-2\pi in\theta }{e}_n$ (unendliche Diagonalmatrix).

Dann bestätigt man leicht $UV{e}_n=e^{-2\pi in\theta }{e}_{n+1}=e^{2\pi i\theta }VU{e}_n$, woraus $UV=e^{2\pi i\theta }VU$ folgt. Wegen der oben erwähnten universellen Eigenschaft der irrationalen Rotationsalgebra erhält man daraus $A_{\theta }\cong C^{*}(U,V)\subset B({\ell }^2)$.

K-Theorie

Nach einem Satz von Marc Rieffel gibt es zu jedem $\alpha \in (\mathbb{Z}+\theta \mathbb{Z})\cap [0,1]$ eine Projektion $P\in A_{\theta }$ mit $\tau (P)=\alpha$, wobei $\tau$ die eindeutige Spur auf $A_{\theta }$ sei.

Da $(\mathbb{Z}+\theta \mathbb{Z},(\mathbb{Z}+\theta \mathbb{Z})\cap {ℝ}^{+},(\mathbb{Z}+\theta \mathbb{Z})\cap [0,1])$ eine unperforierte, skalierte, kommutative Gruppe mit der Rieszschen Zerlegungseigenschaft ist (für diese Begriffe siehe Geordnete abelsche Gruppe), gibt es nach dem Satz von Effros-Handelman-Shen bis auf Isomorphie genau eine AF-C*-Algebra ${𝒜}_{\theta }$, die diese Gruppe als K₀-Gruppe hat, und es liegt nahe die C*-Algebra $A_{\theta }$, die selbst keine AF-C*-Algebra ist, mit ${𝒜}_{\theta }$ in Verbindung zu bringen. Tatsächlich konnten M. Pimsner und D. Voiculescu eine Einbettung $A_{\theta }\to {𝒜}_{\theta }$ konstruieren. Daraus folgt zunächst $K_0(A_{\theta })\cong \mathbb{Z}+\theta \mathbb{Z}$ und dann:

• Zwei irrationale Rotationsalgebren $A_{\theta }$ und $A_{\eta }$ sind genau dann isomorph, wenn $\eta =\pm \theta \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathbb{Z}$ ist.

Kreuzprodukt

Die irrationale Rotationsalgebra ist der Prototyp des Kreuzproduktes eines C*-dynamischen Systems. Ist $\alpha \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C(𝕋))$ durch $(\alpha (f))(t):=f(t-\theta )$ definiert und ist $\sigma :\mathbb{Z}\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(C(𝕋)),n\mapsto {\alpha }^n$, so ist $(C(𝕋),\mathbb{Z},\sigma )$ ein C*-dynamisches System und es ist $A_{\theta }\cong C(𝕋){⋉}_{\sigma }\mathbb{Z}$.

Einzelnachweise

K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1: