Jacobi-Operator

Ein Jacobi-Operator, nach Carl Gustav Jakob Jacobi (1804–1851), ist ein symmetrischer linearer Operator, der auf Folgen operiert und der in der durch Kronecker-Deltas gegebenen Standardbasis durch eine tridiagonale Matrix, die Jacobi-Matrix, dargestellt wird.

Selbstadjungierte Jacobi-Operatoren

Der wichtigste Fall ist der von selbstadjungierten Jacobi-Operatoren im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen über den positiven ganzen Zahlen ${\ell }^2(\mathbb{N})$. In diesem Fall ist $J:{\ell }^2(\mathbb{N})\to {\ell }^2(\mathbb{N}),f\mapsto Jf$ durch

$(Jf{)}_n=\{\begin{array}{cc}{a}_1{f}_2+b_1{f}_1,& n=1,\\ a_n{f}_{n+1}+a_{n-1}{f}_{n-1}+b_n{f}_n,& n>1,\end{array}$

gegeben, wobei die Koeffizienten

$a_n>0,b_n\in ℝ$

erfüllen. Der zugehörige Operator ist genau dann beschränkt, wenn es die Koeffizienten sind. Im unbeschränkten Fall muss ein geeigneter Definitionsbereich gewählt werden.

Jacobi-Operatoren sind eng mit der Theorie der orthogonalen Polynome verknüpft: Die Lösung $P_n(z)$ der Differenzengleichung

$J{P}_n(z)=z{P}_n(z),P_1(z)=1,$

ist ein Polynom vom Grad $n$ und diese Polynome sind orthonormal bezüglich des Spektralmaßes das zum ersten Basisvektor ${\delta }_{1,n}$ gehört.

Anwendungen

Jacobi-Operatoren treten in vielen Bereichen der Mathematik und Physik auf. Der Fall $a_n=1$ ist als diskreter eindimensionaler Schrödingeroperator bekannt. Sie treten auch im Lax-Paar des Toda-Gitters auf.

Literatur

• G. Teschl, Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices, Mathematical Surveys and Monographs 72, Amer. Math. Soc., Providence, 2000. ISBN 0-8218-1940-2 (freie Online-Version)