Yule-Walker-Gleichungen

Die Yule-Walker-Gleichungen (nach Gilbert Walker und George Udny Yule) werden in der Zeitreihenanalyse, die zur Statistik gehört, zum Schätzen der Parameter von AR(MA)-Prozessen verwendet. Sie stellen einen Zusammenhang her zwischen Autoregressionskoeffizienten und der Autokovarianzfolge des Prozesses.

Die Gleichungen

Sei $(X_t{)}_{t\in \mathbb{Z}}$ ein stationärer autoregressiver Prozess der Ordnung $p$, also $X_t=\sum _{k=1}^p{\alpha }_k{X}_{t-k}+{\epsilon }_t$, wobei $({\epsilon }_t{)}_{t\in \mathbb{Z}}$ weißes Rauschen mit Varianz ${\sigma }_{\epsilon }^2$ und $(r_t{)}_{t\in \mathbb{Z}}$ die Autokovarianzfolge ist. Dann gelten die Yule-Walker Gleichungen:

1. $\sum _{k=1}^p{\alpha }_k{r}_{t-k}=r_t$ für $t>0$
2. $\sum _{k=1}^p{\alpha }_k{r}_{t-k}=r_0-{\sigma }_{\epsilon }^2$ für $t=0$

Anwendungen

Mit den obigen Gleichungen können dann folgende Schätzer für die Parameter des Prozesses hergeleitet werden: Sei ${\hat{R}}_p=({\hat{r}}_{i,j}{)}_{i,j=1,\dots ,p}$ die (geschätzte) Kovarianzmatrix des Prozesses, ferner ${\hat{r}}_i=({\hat{R}}_p{)}_{1,i}$ sowie ${\hat{r}}_p=({\hat{r}}_1,\dots ,{\hat{r}}_p{)}^T$. Dann ist

$\hat{\alpha }=({\hat{\alpha }}_1,{\hat{\alpha }}_2,\dots ,{\hat{\alpha }}_p{)}^T={\hat{R}}_p^{-1}{\hat{r}}_p$

ein konsistenter Schätzer für $\alpha$, der aufgrund der fast sicheren positiven Definitheit der Korrelationsmatrix $R_p=(r_{i,j}{)}_{i,j=1,\dots ,p}$ fast sicher existiert.

Literatur

• Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series. Theory and Methods, Springer. 2. verb. Aufl. Springer, New York 2006, ISBN 978-0-387-97429-3.
• Gebhard Kirchgässner, Jürgen Wolters: Introduction to Modern Time Series Analysis. 1. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-73290-7.
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