Seventeen or Bust

Seventeen or Bust ist ein gemeinschaftliches Internet-Projekt, das sich als Aufgabe gesetzt hat, das Sierpiński-Problem zu lösen.^[1]

Seit Mitte April 2016 ist der SoB-Server nicht mehr erreichbar und damit die Zukunft des Grundprojektes ungewiss. Seine Fragestellungen werden aber wohl auch in den beiden Internet-Projekten zum Prime-Sierpiński-Problem und zum erweiterten Sierpiński-Problem mit beantwortet.^[2]

Sierpiński-Problem

Das Problem lautet: „Welche ist die kleinste Sierpiński-Zahl?“ John L. Selfridge hat 1962 gezeigt, dass 78557 eine Sierpiński-Zahl ist.^[3] Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 78557 die kleinste Sierpiński-Zahl ist. Es wird aber vermutet, dass es sich um die kleinste Sierpiński-Zahl handelt. Allerdings kommen noch 17 weitere Zahlen in Frage, die allesamt kleiner wären als 78557 und somit den Titel der kleinsten Sierpiński-Zahl für sich beanspruchen könnten. Es handelt sich um folgende 17 Zahlen:

4847, 5359, 10223, 19249, 21181, 22699, 24737, 27653, 28433, 33661, 44131, 46157, 54767, 55459, 65567, 67607, 69109

Ziel des Projekts

Das Projekt startete im März 2002. Es will beweisen, dass 78557 tatsächlich die kleinste Sierpiński-Zahl ist. Dafür muss es zeigen, dass es für alle anderen 17 oben genannten Zahlen $k$ zumindest ein $n > 0$ existiert, sodass gilt: $k \cdot 2^{n} + 1$ ist eine Primzahl. Wird so ein $n$ gefunden, kann die dazugehörige Zahl $k$ keine Sierpiński-Zahl sein, denn bei einer Sierpiński-Zahl muss $k \cdot 2^{n} + 1$ für alle $n \geq 1$ eine zusammengesetzte Zahl sein.

Für jede der oben genannten 17 Werte für $k$ sucht das Projekt also nach Primzahlen der Form

k \cdot 2^{1} + 1, k \cdot 2^{2} + 1, \dots, k \cdot 2^{n} + 1, \dots

Es verwendet dabei den Satz von Proth. Wenn ein geeignetes $n$ gefunden wurde, hat man eine Prothsche Primzahl gefunden und gleichzeitig vor allem bewiesen, dass $k$ keine Sierpiński-Zahl ist. Wenn von allen 17 obigen Zahlen ein $n$ gefunden werden konnte, ist der Beweis erbracht, dass 78557 tatsächlich die kleinste Sierpiński-Zahl ist.

Natürlich kann auch sein, dass es für eine oder sogar für mehrere der obigen Zahlen $k$ tatsächlich kein $n$ existiert, sodass $k \cdot 2^{n} + 1$ eine Primzahl ist. In diesem Fall würde die Suche nach einer Primzahl natürlich unendlich lang dauern, ohne Aussicht auf Erfolg. Es gibt aber Gründe dafür, dass die Behauptung „78557 ist die kleinste Sierpiński-Zahl“ richtig ist.^[4]

Momentanes Ergebnis der Suche

„Seventeen or Bust“ hat mittlerweile für 12 der 17 übriggebliebenen Zahlen $k$ mindestens ein $n$ gefunden, das zu einer Primzahl führt.^[5]^[6]^[7]

k	n	Stellen von k•2ⁿ+1	Datum der Entdeckung	Entdecker
46.157	698.207	210.186	27. November 2002	Stephen Gibson
65.567	1.013.803	305.190	3. Dezember 2002	James P. Burt
44.131	995.972	299.823	6. Dezember 2002	Anonym
69.109	1.157.446	348.431	7. Dezember 2002	Sean DiMichele
54.767	1.337.287	402.569	22. Dezember 2002	Peter Coels
5.359	5.054.502	1.521.561	6. Dezember 2003	Randy Sundquist
28.433	7.830.457	2.357.207	30. Dezember 2004	Ars Technica Team Prime Rib
27.653	9.167.433	2.759.677	8. Juni 2005	Derek Gordon
4.847	3.321.063	999.744	15. Oktober 2005	Richard Hassler
19.249	13.018.586	3.918.990	5. Mai 2007	Konstantin Agafonov
33.661	7.031.232	2.116.617	17. Oktober 2007	Sturle Sunde
10.223	31.172.165	9.383.761	31. Oktober 2016	Péter Szabolcs
21.181	> 36.600.000	> 11.017.702	(in Arbeit)
22.699	> 36.600.000	> 11.017.702	(in Arbeit)
24.737	> 36.600.000	> 11.017.702	(in Arbeit)
55.459	> 36.600.000	> 11.017.702	(in Arbeit)
67.607	> 36.600.000	> 11.017.702	(in Arbeit)

Colbert-Zahlen

Die durch das Projekt „Seventeen or Bust“ gefundene Primzahl $10223 \cdot 2^{31172165} + 1$ ist die momentan größte bekannte Primzahl, die keine Mersenne-Primzahl ist^[8] (Stand: 14. November 2016). Die sechs Primzahlen der oberen Liste mit über einer Million Stellen:

10223 \cdot 2^{31172165} + 1, 19249 \cdot 2^{13018586} + 1, 27653 \cdot 2^{9167433} + 1, 28433 \cdot 2^{7830457} + 1, 33661 \cdot 2^{7031232} + 1

und

5359 \cdot 2^{5054502} + 1

nennt man auch Colbert-Zahlen^[9]^[10] (dies ist auch gleichzeitig die Definition der Colbert-Zahlen: Primzahlen mit über einer Million Stellen, die bei der Suche mit „Seventeen or Bust“ gefunden werden). Sie wurden nach dem US-amerikanischen Komiker und Satiriker Stephen T. Colbert benannt.

Ausblick in die Zukunft

Für den endgültigen Beweis, dass 78557 die kleinste Sierpiński-Zahl ist, muss noch gezeigt werden, dass für die folgenden $k$ mindestens ein $n$ existiert, sodass $k \cdot 2^{n} + 1$ eine Primzahl ist:^[11]

k = 21181, 22699, 24737, 55459, 67607

Es wird davon ausgegangen, dass irgendwann tatsächlich zu jedem der obigen fünf $k$ noch mindestens ein $n$ gefunden wird. Die so gefundenen Primzahlen werden über eine Million Stellen haben und somit ebenfalls Colbert-Zahlen genannt werden. Man kann auch davon ausgehen, dass die größte der so gefundenen Primzahlen größer ist als alle momentan bekannten Primzahlen.^[10]

Prime-Sierpiński-Problem

Die möglicherweise kleinste Sierpiński-Zahl $k = 78557 = 17 \cdot 4621$ ist eine zusammengesetzte Zahl.

1976 bewies Nathan Mendelsohn (1917–2006), dass die Primzahl $k = 271129$ ebenfalls eine Sierpiński-Zahl ist.^[12] Dies ist die momentan zweitkleinste bekannte Sierpiński-Zahl und die kleinste bekannte prime Sierpiński-Zahl.

Das Prime-Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob $k = 271129$ tatsächlich die kleinste prime Sierpiński-Zahl ist.^[13] Um dies zu überprüfen, müssen die folgenden 9 Primzahlen überprüft werden (wobei die ersten zwei Zahlen schon in obigem Problem auftauchen) (Stand: 31. Dezember 2019):

k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931, 237019

Das Internet-Projekt „Prime Sierpinski Project“ beschäftigt sich seit dem 1. Januar 2004 mit dieser Frage.^[14]

Erweitertes Sierpiński-Problem

Das erweiterte Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob $k = 271129$ tatsächlich die zweitkleinste Sierpiński-Zahl ist.^[13]^[15] Um dies zu überprüfen, müssen neben den 9 oben genannten Primzahlen noch zusätzlich die folgenden 11 zusammengesetzten Zahlen überprüft werden (wobei die ersten drei Zahlen schon im ursprünglichen Problem auftauchen) (Stand: 7. März 2022):

k = 21181, 24737, 55459, 91549, 131179, 163187, 200749, 209611, 227723, 229673, 238411

Siehe auch

PrimeGrid – Internet-Suche nach Rekord-Primzahlen

Weblinks

Einzelnachweise

[1] Vorlage:Internetquelle

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[3] Vorlage:Internetquelle

[4] Vorlage:Internetquelle

[5] Vorlage:Internetquelle

[6] Vorlage:Internetquelle

[7] Vorlage:Internetquelle

[8] Vorlage:Internetquelle

[9] Vorlage:Internetquelle

[Colbert-10] 10,0 ^10,1 Vorlage:Internetquelle

[11] Vorlage:Internetquelle

[12] Vorlage:Literatur

[Keller-13] 13,0 ^13,1 Vorlage:Internetquelle

[14] Vorlage:Internetquelle

[15] Vorlage:Internetquelle

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