Coxeter-Gruppe

In der Mathematik sind Coxeter-Gruppen eine formale Beschreibung und Verallgemeinerung von Spiegelungsgruppen.

Definitionen

Coxeter-Gruppen werden abstrakt definiert als Gruppen mit einer Präsentierung

$W=⟨r_1,\dots ,r_n\mid (r_i{r}_j{)}^{m_{ij}}=1⟩$

mit $m_{ii}=1$ und $m_{ij}=m_{ji}\ge 2$ für $i=j$.

Die Bedingung $m_{ij}=\mathrm{\infty }$ bedeutet, dass $(r_i{r}_j)$ unendliche Ordnung haben.

Das Paar $(W,S)$, bestehend aus einer Coxeter-Gruppe $W$ und einer Menge aus Erzeugern $S=\{r_1,\dots ,r_n\}$, wird als Coxeter-System bezeichnet.

Klassifikation der Coxeter-Diagramme

Coxeter bewies 1934, dass jede Spiegelungsgruppe eine Coxeter-Gruppe ist, und ein Jahr später, dass jede endliche Coxeter-Gruppe eine Spiegelungsgruppe ist. Weiter klassifizierte er endliche Coxeter-Gruppen durch ihre Coxeter-Diagramme. Diese sind Graphen mit einem Knoten für jeden Erzeuger $r_i$, Kanten zwischen den $r_i$ und $r_j$ verbindenden Knoten genau für $m_{ij}\ge 3$ und einer Markierung der Kante durch $m_{ij}$ für $m_{ij}\ge 4$. Die rechts abgebildete Grafik zeigt alle Coxeter-Diagramme, wobei $A_n,B_n=C_n$ und $D_n$ jeweils für jedes $n\ge 1$ einem Coxeter-Diagramm entsprechen. Jedes dieser Diagramme entspricht einer endlichen Spiegelungsgruppe.

Literatur

• Coxeter, HSM: Discrete groups generated by reflections, Annals of Mathematics, 35 (3): 588–621, 1934.
• Coxeter, HSM: The complete enumeration of finite groups of the form $r_i^2=(r_i{r}_j{)}^{k_{ij}}=1$, J. London Math. Soc., 1, 10 (1): 21–25, 1935.