Stolarsky-Mittel

In der Mathematik ist der Stolarskysche Mittelwert oder kurz das Stolarsky-Mittel ein von Kenneth B. Stolarsky eingeführter Mittelwert, der das logarithmische Mittel verallgemeinert.

Für zwei Zahlen $x,y$ und einen Parameter $p$ ist das Stolarsky-Mittel definiert als

$S_p(x,y)=\underset{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\lim }{\left(\frac{{\xi }^p-{\eta }^p}{p(\xi -\eta )}\right)}^{\frac{1}{p-1}}=\{\begin{array}{cc}x& \text{falls }x=y\\ {\left(\frac{x^p-y^p}{p(x-y)}\right)}^{\frac{1}{p-1}}& \text{sonst}\end{array}$

Dabei ist der Grenzwert über alle Paare $(\xi ,\eta )$ mit $\xi =\eta$ zu bilden. Im Falle $x=y$ ist der Grenzwert die $\frac{1}{p-1}$-te Potenz des Differentialquotienten der Funktion $x\mapsto \frac{x^p}{p}$ und stimmt daher tatsächlich, wie angegeben, mit $x$ überein.

Spezialfälle

Das Stolarsky-Mittel hat folgende Spezialfälle:

$S_{-\mathrm{\infty }}(x,y)$	$=\text{min}\{x,y\}$	Minimum (Grenzwert!)
$S_{-1}(x,y)$	$=\sqrt{xy}$	Geometrisches Mittel
$S_0(x,y)$	$=\frac{x-y}{\log x-\log y}$	Logarithmisches Mittel (Grenzwert!)
$S_{\frac{1}{2}}(x,y)$	$={\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}\right)}^2$	Hölder-Mittel mit 1/2
$S_1(x,y)$	$=\frac{1}{e}{\left(\frac{y^y}{x^x}\right)}^{\frac{1}{y-x}}$	identric mean (Grenzwert!)
$S_2(x,y)$	$=\frac{x+y}{2}$	Arithmetisches Mittel
$S_{\mathrm{\infty }}(x,y)$	$=\text{max}\{x,y\}$	Maximum (Grenzwert!)

Gewichtetes Stolarsky-Mittel

Das Stolarsky-Mittel lässt sich auch gewichten:

$S_{{\omega }_1,{\omega }_2}(x,y)={\left(\frac{{\omega }_2\cdot (x^{{\omega }_1}-y^{{\omega }_1})}{{\omega }_1\cdot (x^{{\omega }_2}-y^{{\omega }_2})}\right)}^{\frac{1}{{\omega }_1-{\omega }_2}}$

Referenzen

• Horst Alzer: Bestmögliche Abschätzungen für spezielle Mittelwerte. (PDF; 141 kB)
• Horst Alzer: Ungleichungen für Mittelwerte. In: Archiv der Mathematik, Vol. 47 (5), November 1986, springerlink.com
• Edward Neumann: Stolarski Means of Several Variables (PDF; 254 kB) In: Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Vol. 6, 2(30), 2005.
• Thomas Riedel, Prasanna K. Sahoo: A characterization of the Stolarsky mean. In: Aequationes Mathematicae, 70, Nr. 1/2, Sept. 2005, springerlink.com