Toeplitz-Algebra

Die Toeplitz-Algebra ist eine im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersuchte C*-Algebra, die eng mit Toeplitz-Operatoren zusammenhängt.

Definition

Sei $S:{\ell }^2\to {\ell }^2$ der unilaterale Shiftoperator auf dem Hilbertraum ${\ell }^2$ mit der kanonischen Orthonormalbasis $e_n=(0,\dots ,0,1,0,\dots ),n=0,1,2,\dots$, wobei die 1 an der $n$-ten Stelle steht. $S$ ist als stetiger, linearer Operator durch die Bedingungen $S{e}_n=e_{n+1}$ festgelegt.

Die Toeplitz-Algebra $𝒯$ ist definiert als die von $S$ erzeugte C*-Algebra.

Bemerkungen

• Da $S$ kein normaler Operator ist, ist $𝒯$ nicht kommutativ.

• $𝒯$ enthält die eindimensionale Orthogonalprojektion $⟨\cdot ,e_0⟩e_0=1_{{\ell }^2}-S{S}^{*}$, also einen kompakten Operator. Man kann zeigen, dass $𝒯$ irreduzibel auf ${\ell }^2$ operiert und daher die Menge $𝒦({\ell }^2)$ aller kompakten Operatoren auf ${\ell }^2$ enthalten muss. Insbesondere ist $𝒦({\ell }^2)$ ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in $𝒯$.

Toeplitz-Operatoren

Nimmt man statt des Folgenraums ${\ell }^2$ mit der kanonischen Orthonormalbasis den Hardy-Raum $H^2$ mit der Orthonormalbasis $e_n:𝕋=\{z\in ℂ\mid |z|=1\}\to ℂ$, $z\mapsto z^n$, $n=0,1,2,\dots$, so ist der Shiftoperator nichts anderes als die Multiplikation mit $z$, denn $z\cdot z^n=z^{n+1}$.

Für eine wesentlich beschränkte, messbare Funktion $f:𝕋\to ℂ$ wird die Kompression des Multiplikationsoperators $L^2(𝕋)\to L^2(𝕋),\phi \mapsto f\cdot \phi$ auf den Unterraum $H^2$ mit $T_f$ bezeichnet, solche Operatoren heißen Toeplitz-Operatoren. Damit ist der Shiftoperator der Toeplitz-Operator $T_{{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{𝕋}}$. Die davon erzeugte C*-Algebra ist mittels der unitären Abbildung ${\ell }^2\to H^2$, die die angegebenen Orthonormalbasen aufeinander abbildet, unitär äquivalent zu $𝒯$, sie wird daher ebenfalls als die Toeplitz-Algebra $𝒯$ angesprochen. Man erhält folgende Gleichung

$𝒯=\{T_f+K\mid f\in C(𝕋),K\in 𝒦(H^2)\}$.

Dabei ist $C(𝕋)$ die Funktionenalgebra der stetigen Funktionen $𝕋\to ℂ$. Das Symbol $f$ des Toeplitz-Operators ist dabei eindeutig bestimmt. Man erhält folgende kurze exakte Sequenz

$\{0\}\to 𝒦(H^2)\underset{}{\overset{\subset }{\to }}𝒯\underset{}{\overset{T_f+K\to f}{\to }}C(𝕋)\to \{0\}$

von C*-Algebren und *-Homomorphismen. Da $C(𝕋)$ als kommutative C*-Algebra liminal ist, ergibt sich aus dieser Sequenz, dass die Toeplitz-Algebra postliminal, aber nicht liminal ist.

Satz von Coburn

Der Satz von Coburn kennzeichnet die Toeplitz-Algebra als eine C*-Algebren, die von einer echten Isometrie, das heißt einem Element $V$ mit $V^{*}V=1,V{V}^{*}=1$, erzeugt wird:

• Ist $𝒜$ eine C*-Algebra, die von einer echten Isometrie $V$ erzeugt wird, so gibt es genau einen *-Isomorphismus $\phi :𝒯\to 𝒜$ mit $\phi (S)=V$.

Für den Beweis ist es wesentlich, dass die Isometrie echt ist. Ist die Isometrie $V$ nicht echt, also unitär, so ist die von $V$ erzeugte C*-Algebra kommutativ und kann daher nicht isomorph zu $𝒯$ sein.

K-Gruppen

Die K-Theorie für die Toepolitz-Algebra $𝒯$ sieht wie folgt aus. $K_0(𝒯)\cong \mathbb{Z}$ und ein erzeugendes Element ist durch die Äquivalenzklasse einer eindimensionalen Orthogonalprojektion gegeben. Die $K_1$-Gruppe verschwindet, das heißt $K_1(𝒯)\cong \{0\}$.

Verallgemeinerung

Bei Nikolski findet sich eine etwas allgemeinere Definition. Dort ist die Toeplitz-Algebra die Unteralgebra von $L(H^2)$, die von allen Toeplitz-Operatoren erzeugt wird. Der Autor räumt ein, dass diese Algebra für Untersuchungen zu groß sei, auch wenn sie nicht mit $L(H^2)$, der Algebra aller stetigen, linearen Operatoren auf $H^2$, zusammenfällt. Ist $X\subset L^{\mathrm{\infty }}(𝕋)$ eine abgeschlossene Unteralgebra, so sei $\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}{𝒯}_X$ die von $\{T_f\mid f\in X\}$ erzeugte abgeschlossene Unteralgebra von $L(H^2)$. Die allgemeinere Toeplitz-Algebra im Sinne Nikolskis ist damit gleich $\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}{𝒯}_{L^{\mathrm{\infty }}(𝕋)}$, die oben in diesem Artikel betrachtete Toeplitz-Algebra $𝒯$ ist gleich. $\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}{𝒯}_{C(𝕋)}$.