Hölder-Mittel

In der Mathematik ist das Hölder-Mittel, der Höldersche Mittelwert (nach Otto Hölder, 1859–1937) oder das Potenzmittel (engl. u. a. (p-th) power mean) ein (manchmal auch der) verallgemeinerter Mittelwert. Die Bezeichnung ist uneinheitlich, Bezeichnungen wie das $p$-te Mittel, Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent $p$ sind auch im Umlauf. Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet.

Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen, statt $H_p$ wird auch $M_p(x)$, $m_p(x)$ oder ${\mu }_p(x)$ geschrieben.

Das Hölder-Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische, geometrische, quadratische und harmonische Mittel durch Einführung eines Parameters $p.$

Definition

Für eine reelle Zahl $p\ne 0$ wird das Hölder-Mittel der Zahlen $x_1,\dots ,x_n\ge 0$ zur Stufe $p$ definiert als

$M_p(x_1,\dots ,x_n)={(\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^n{x}_i^p)}^{1/p}=\sqrt[p]{\frac{x_1^p+x_2^p+\dots +x_n^p}{n}}$,

wobei die Wurzelschreibweise üblicherweise nur für natürliche Zahlen $p$ verwendet wird.

Eine dazu passende Definition für $p=0$ ist

$M_0(x_1,\dots ,x_n):=\underset{s\to 0}{\lim }{M}_s(x_1,\dots ,x_n).$

Eigenschaften

• Das Hölder-Mittel ist homogen bezüglich $x_1\dots ,x_n$, das heißt

$M_p(\alpha x_1,\dots ,\alpha x_n)=\alpha \cdot M_p(x_1,\dots ,x_n)$

• Außerdem gilt

$M_p(x_1,\dots ,x_{n\cdot k})=M_p(M_p(x_1,\dots ,x_k),M_p(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_p(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))$

• Eine wichtige Ungleichung zu den Hölder-Mitteln ist

$p<q\Rightarrow M_p(x_1,\dots ,x_n)\le M_q(x_1,\dots ,x_n)$

Daraus folgt etwa (Spezialfälle) die Ungleichung der Mittelwerte

$\min (x_1,\dots ,x_n)\le {\overline{x}}_{\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{m}}\le {\overline{x}}_{\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{m}}\le {\overline{x}}_{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{m}}\le {\overline{x}}_{\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{r}}\le {\overline{x}}_{\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}}\le \max (x_1,\dots ,x_n)$

• Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten $m_p$ um Null recht einfach in Beziehung:

$\overline{x}(p)=\sqrt[p]{m_p}$

• In der Stochastik wird die Konvergenz im p-ten Mittel über diese Potenzmittelwerte definiert.

Spezialfälle

Vier Mittelwerte zweier Werte a, b:
H = Harmonisches Mittel, G = Geometrisches Mittel,
A = Arithmetisches Mittel, Q = Quadratisches Mittel

Mittels Wahl eines geeigneten Parameters $p$ ergeben sich die bekannten Mittelwerte:

	$\underset{p\to -\mathrm{\infty }}{\lim }$	$M_p(x_1,\dots ,x_n)$	$=\min \{x_1,\dots ,x_n\}$	Minimum
$p=-1$		$M_{-1}(x_1,\dots ,x_n)$	$=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots +\frac{1}{x_n}}$	Harmonisches Mittel
	$\underset{p\to 0}{\lim }$	$M_p(x_1,\dots ,x_n)$	$=\sqrt[n]{x_1\cdot \dots \cdot x_n}$	Geometrisches Mittel
$p=1$		$M_1(x_1,\dots ,x_n)$	$=\frac{x_1+\dots +x_n}{n}$	Arithmetisches Mittel
$p=2$		$M_2(x_1,\dots ,x_n)$	$=\sqrt{\frac{x_1^2+\dots +x_n^2}{n}}$	Quadratisches Mittel
$p=3$		$M_3(x_1,\dots ,x_n)$	$=\sqrt[3]{\frac{x_1^3+\dots +x_n^3}{n}}$	Kubisches Mittel
	$\underset{p\to \mathrm{\infty }}{\lim }$	$M_p(x_1,\dots ,x_n)$	$=\max \{x_1,\dots ,x_n\}$	Maximum

Weitere Verallgemeinerungen

Gewichtetes Hölder-Mittel

Auch zu dem Hölder-Mittel lässt sich ein gewichtetes Mittel definieren: Das gewichtete Hölder-Mittel lässt sich mit den Gewichten ${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_n$ mit ${\omega }_1+{\omega }_2+\dots +{\omega }_n=1$ definieren als

${M_{\omega }}^p={({\omega }_1\cdot x_1^p+{\omega }_2\cdot x_2^p+\dots +{\omega }_n\cdot x_n^p)}^{1/p},$

wobei für das ungewichtete Hölder-Mittel ${\omega }_1={\omega }_2=\dots ={\omega }_n=\frac{1}{n}$ verwendet wird.

f-Mittel

Vergleiche Quasi-arithmetisches Mittel

Das Hölder-Mittel lässt sich weiter verallgemeinern zu

$M_f(x_1,\dots ,x_n)=f^{-1}\left(\frac{1}{n}\cdot \sum _{i=1}^{n}f(x_i)\right)$

bzw. gewichtet zu

$M_f(x_1,\dots ,x_n)=f^{-1}\left(\sum _{i=1}^n{\omega }_{i}f(x_i)\right)$

Dabei ist $f$ eine Funktion von $x$; das Hölder-Mittel verwendet $f(x)=x^p$.

Weitere Beispiele:

• Sind $x_1,\dots ,x_n\ge 0$ die Renditen einer Kapitalanlage in den Jahren $1$ bis $n$, so erhält man die mittlere Rendite als $f$-Mittel der einzelnen Renditen zur Funktion $f(x)=\ln (1+x)$.
• Sind $x_1,\dots ,x_n$ die Alter von $n$ Personen, so erhält man das versicherungstechnische Durchschnittsalter als $f$-Mittel der einzelnen Alter zur Funktion $f(x)={\mu }_x$; dabei bedeutet ${\mu }_x$ die Sterbeintensität. In der Praxis ist das summengewichtete versicherungstechnische Durchschnittsalter relevant, hier werden die Alter der versicherten Personen mit den jeweiligen Versicherungssummen gewichtet; die Sterbeintensität wird oft durch die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit $q_x$ ersetzt.

Siehe auch

• Lehmer-Mittel
• Mittelwert
• Stolarsky-Mittel, Logarithmisches Mittel

Literatur

• Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung, Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0
• P. S. Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht, Netherlands: Kluwer, 2003, S. 175–265

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• Weighted Power Mean und Proof auf planetmath.org (engl.)
• Examples of Generalized Mean
• Juttas Mathe-Newsletter