σ-kompakter Raum

Ein topologischer Raum heißt σ-kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. σ-Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe σ in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „σ-finit“ gebildet.

Der Begriff ist wichtig für die abstrakte Integrationstheorie, zusammen mit Lokalkompaktheit und dem Trennungsaxiom T₃ garantiert er die Existenz einer kompakten Ausschöpfung.

Eigenschaften

• Ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist abzählbar im Unendlichen genau dann, wenn der bei der Alexandroff-Kompaktifizierung hinzugekommene unendlich ferne Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis besitzt.
• Hemikompakte Räume sind σ-kompakt.
• Jeder endlichdimensionale normierte Raum ist σ-kompakt.

Beispiele

• Beispielsweise ist $ℝ$, ausgestattet mit der Standardtopologie, ein σ-kompakter topologischer Raum, denn es gilt $ℝ=\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[-n,n]$, so dass sich $ℝ$ als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume $[-n,n]$ darstellen lässt.
• Der Raum der finiten $𝕂$-wertigen Folgen $c_{00}$ (versehen mit der Norm $||\cdot |{|}_{\mathrm{\infty }}$) ist $\sigma$-kompakt, denn es ist $c_{00}=\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{K}_j$, wobei $K_j\subseteq c_{00}$ die kompakte Teilmenge der Folgen $x=(x_{\ell }{)}_{\ell }\in c_{00}$ mit $||x|{|}_{\mathrm{\infty }}\le j$ und $x_{\ell }=0$ für $\ell \ge j$ sei. $c_{00}$ ist aber nicht lokal kompakt, da $\dim c_{00}=\mathrm{\infty }$ gilt.

Literatur

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• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1.
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-24914-2.