Fagnano-Problem

Höhenfußpunktdreieck: $\mathrm{△}DEF$
einbeschriebene Dreiecke: $\mathrm{△}DEF,\mathrm{△}GHI$
$|DE|+|EF|+|FD|\le |GH|+|HI|+|IG|$

Das Fagnano-Problem ist das folgende nach Giovanni Fagnano benannte Optimierungsproblem.

Bestimme das in ein spitzwinkliges Dreieck einbeschriebene Dreieck minimalen Umfangs.

Hierbei versteht man unter einem einbeschriebenen Dreieck eines Dreiecks $\mathrm{△}ABC$ ein Dreieck $\mathrm{△}GHI$, dessen Ecken auf den Seiten Dreiecks $\mathrm{△}ABC$ liegen, das heißt $G\in \overline{AC}$, $H\in \overline{AB}$ und $I\in \overline{BC}$. Für das Höhenfußpunktdreieck $\mathrm{△}DEF$ gilt, dass sein Umfang geringer ist als der eines jeden anderen einbeschriebenen Dreiecks $\mathrm{△}GHI$ und somit ist es die Lösung des Fagnano-Problems.

Zunächst zeigte Giovanni Fagnanos Vater Giulio Carlo Fagnano, dass man zu einem beliebigen festen Punkt U auf $\overline{AB}$ 2 Punkte V auf $\overline{AC}$ und W auf $\overline{BC}$ so konstruieren kann, dass der Umfang des Dreieckes $\mathrm{△}UVW$ minimal ist. Giovanni Fagnano verwandte dieses Resultat, um dann mit Hilfe der Differentialrechnung von allen möglichen U auf $\overline{AB}$, dasjenige zu bestimmen, für das der Umfang des Dreieckes $\mathrm{△}UVW$ minimal wird. Später wurden auch mehrere elementargeometrische Beweise gefunden, unter anderem auch von Leopold Fejér und Hermann Amandus Schwarz. Diese Beweise verwenden meist Eigenschaften von Spiegelungen zur Bestimmung eines minimalen Weges.

Literatur

• Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. 100 berühmte Probleme aus 2 Jahrtausenden mathematischer Kultur. 2., ergänzte Auflage. F. Hirt, Breslau 1940, Problem 90.
• Paul J. Nahin: When Least is Best. How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible. Princeton University Press, Princeton NJ u. a. 2004, ISBN 0-691-07078-4, S. 67.
• H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
• Hermann Amandus Schwarz: Gesammelte Mathematische Abhandlungen. Band 2. Berlin 1890, S. 344–345 Vorlage:Archive.org

Weblinks

• Wolfgang Zimmer: Eine offene Aufgabe zum Thema „Minimale Entfernungen“ (Sinus Materialien) (PDF; 141 kB)
• Fagnano-Problem auf cut-the-knot (englisch)
• Fagnano-Problem in der Encyclopaedia of Mathematics (englisch)
• Fagnano-Problem auf einer Website zur Dreiecksgeometrie (englisch)
• Vorlage:MathWorld