Laurent-Polynom

Ein Laurent-Polynom (nach Pierre Alphonse Laurent) ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung des Begriffs Polynom. Beim Laurent-Polynom sind auch negative Exponenten zugelassen.

Definition

Ein Laurent-Polynom über einem kommutativen Ring $R$ ist ein Ausdruck der Form

$p(X)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{a}_k{X}^k,a_k\in R$,

bei dem nur endlich viele Ringelemente $a_k$ von 0 verschieden sind. Ein Laurent-Polynom kann also als eine Laurent-Reihe mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten angesehen werden.

Der Ring der Laurent-Polynome

Mit Laurent-Polynomen rechnet man formal wie folgt:

Addition: $\sum _{i\in \mathbb{Z}}{a}_i{X}^i+\sum _{i\in \mathbb{Z}}{b}_i{X}^i=\sum _{i\in \mathbb{Z}}(a_i+b_i)X^i$,

Multiplikation: $\sum _{i\in \mathbb{Z}}{a}_i{X}^i\cdot \sum _{j\in \mathbb{Z}}{b}_j{X}^j=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\left(\sum _{i,j:i+j=k}{a}_i{b}_j\right)X^k$.

Diese Operationen machen die Menge $R[X,X^{-1}]$ zu einem Ring, dem sogenannten Laurent-Ring über $R$. Es handelt sich sogar um einen R-Modul, wenn man die Multiplikation mit Elementen $a\in R$ in naheliegender Weise wie folgt definiert:

Skalare Multiplikation: $a\cdot \sum _{i\in \mathbb{Z}}{a}_i{X}^i=\sum _{i\in \mathbb{Z}}(a{a}_i)X^i$.

In vielen Anwendungen ist $R$ ein Körper, $R[X,X^{-1}]$ ist dann eine $R$-Algebra.

Eigenschaften

• Man erhält $R[X,X^{-1}]$ aus dem Polynomring $R[X]$, indem man die Unbestimmte $X$ invertiert. Der Laurent-Ring über $R$ ist damit die Lokalisierung von $R[X]$ nach der von den positiven Potenzen von $X$ erzeugten Halbgruppe.
• Die Einheiten von $R[X,X^{-1}]$ sind von der Form $a{X}^i$, wobei $a\in R$ eine Einheit und $i\in \mathbb{Z}$ ist.
• Der Laurent-Ring über $R$ ist isomorph zum Gruppenring von $\mathbb{Z}$ über $R$.

Derivationen des Laurent-Rings

Es sei $R$ ein Körper. Dann ist die Menge der Derivationen auf $R[X,X^{-1}]$ eine Lie-Algebra. Die formale Ableitung

$\frac{\partial }{\partial X}:\sum _{i\in \mathbb{Z}}{a}_i{X}^i\mapsto \sum _{i\in \mathbb{Z}}i\cdot a_i{X}^{i-1}$

ist eine solche Derivation. Daher ist auch für jedes $p(X)\in R[X,X^{-1}]$ durch die Definition $T_{p(X)}:=p(X)\frac{\partial }{\partial X}$ eine Derivation gegeben. Dies ist die allgemeinste Derivation auf $R[X,X^{-1}]$. Ist nämlich $T$ eine solche Derivation, so ist $p(X):=T(1\cdot X)\in R[X,X^{-1}]$ und man kann $T=T_{p(X)}$ zeigen.

Die Derivationen $d_n:=T_{-X^{n+1}}=-X^{n+1}\frac{\partial }{\partial X},n\in \mathbb{Z}$, bilden daher eine Basis. Durch eine kurze Rechnung bestätigt man die Kommutatorrelationen

• $[d_m,d_n]=(m-n)d_{m+n}$ für alle $m,n\in \mathbb{Z}$.

(siehe Witt-Algebra). Weiter gilt

• $d_0(X^n)=-n\cdot X^n$ für alle $n\in \mathbb{Z}$.

Daher nennt man $-d_0$ auch die Grad-Derivation.