Sagitta-Methode

Herleitung der Sagitta-Methode

Die Sagitta-Methode ermöglicht es, einen Kreisradius mithilfe eines Kreisausschnittes zu bestimmen. Das ist immer dann sinnvoll, wenn nicht das ganze Abbild eines Kreises zur Verfügung steht.

Bei der Sagitta-Methode werden zwei Punkte ($A$ und $B$) einer Kreislinie $k$ markiert und die Länge $l$ der entstehenden Kreissehne $\overline{AB}$ bestimmt. Anschließend wird am Mittelpunkt $L$ der Sehne eine Senkrechte eingezeichnet und die Höhe $h$ des Kreissegments bestimmt. Der unbekannte Radius $r,$ von Punkt $A$ bis $M,$ bildet mit der Differenz $r-h$ und $l/2$ ein rechtwinkliges Dreieck. Über den Satz des Pythagoras wird $r$ aus den Messungen berechenbar:

${\left(\frac{l}{2}\right)}^2+(r-h{)}^2=r^2.$

Die Umformung

$r^2=\frac{l^2}{4}+r^2-2rh+h^2$

und das Erweitern mit $-r^2$ und $+2rh$

$2rh=\frac{l^2}{4}+h^2,$

liefert nach nochmaligem Umformen:

$r=\frac{l^2}{8h}+\frac{h}{2}.$

Historisch wurde die Höhe $h$ des Kreissegments als Sagitta und der Abstand $r-h$ der Sehne zum Kreismittelpunkt als Apothema bezeichnet.

Weblinks

• Messungen und Simulationen für eine Zeit-Projektionskammer mit GEM-Technologie