Dynkin-Index

In der Mathematik wird der Dynkin-Index $T_R$ einer irreduziblen Darstellung R definiert als

$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(T^a{T}^b)={\delta }^{ab}{T}_R$

worin $T^a$ die Erzeugenden der Darstellung sind. Der Begriff trägt seinen Namen zu Ehren des russischen Mathematikers Eugene Dynkin.

Für eine Darstellung $|\lambda |$ der Lie-Algebra $g$ mit dem höchsten Gewicht $\lambda$ wird der Dynkin-Index ${\chi }_{\lambda }$ definiert als

${\chi }_{\lambda }=\frac{\dim (|\lambda |)}{2\dim (g)}(\lambda ,\lambda +2\rho )$

worin der Weyl-Vektor

$\rho =\frac{1}{2}\sum _{\alpha \in {\mathrm{\Delta }}^{+}}\alpha$

gleich der Hälfte der Summe aller positiven Wurzeln von $g$ ist. Ist als Spezialfall $\lambda$ die größte Wurzel, das heißt, $|\lambda |$ ist die adjungierte Darstellung, so ist der Dynkin-Index ${\chi }_{\lambda }$ gleich der dualen Coxeter-Zahl.

Literatur

• Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu, David Sénéchal: Conformal Field Theory. Springer-Verlag, New York 1997, ISBN 0-387-94785-X.