Lemma von Bramble-Hilbert

In der Mathematik, besonders in der numerischen Analysis, schätzt das Bramble-Hilbert-Lemma, benannt nach James H. Bramble und Stephen R. Hilbert, den Fehler bei Approximation einer Funktion $u$ durch ein Polynom der maximalen Ordnung $m-1$ mit Hilfe der Ableitungen $m$-ter Ordnung von $u$ ab. Sowohl der Approximationsfehler als auch die Ableitungen von $u$ werden durch $L^p$-Normen auf einem beschränkten Gebiet im ${ℝ}^n$ gemessen. In der klassischen numerischen Analysis entspricht dies einer Fehlerschranke mit Hilfe der zweiten Ableitungen von $u$ bei linearer Interpolation von $u$. Jedoch gilt das Bramble-Hilbert-Lemma auch in höheren Dimensionen, und der Approximationsfehler und die Ableitungen von $u$ können dabei durch allgemeinere Normen gemessen werden, nämlich nicht nur in der Maximumnorm, sondern auch in gemittelten $L^p$-Normen.

Zusätzliche Regularitätsannahmen an den Rand des Gebiets sind für das Lemma von Bramble-Hilbert erforderlich. Lipschitz-Stetigkeit des Randes ist hierfür ausreichend, insbesondere gilt das Lemma für konvexe Gebiete und $C^1$-Gebiete.

Die Hauptanwendung des Lemmas von Bramble-Hilbert ist der Nachweis von Fehlerschranken mit Hilfe der Ableitungen bis zur $m$-ten Ordnung für den Fehler bei Approximation durch einen Operator, der Polynome der Ordnung höchstens $m-1$ erhält. Das ist ein wesentlicher Schritt beim Nachweis von Fehlerschätzungen für die Finite-Elemente-Methode. Das Lemma von Bramble-Hilbert wird dort auf dem Gebiet angewandt, das aus einem Element besteht.

Formulierung

Es sei $\mathrm{\Omega }$ ein beschränktes Gebiet im ${ℝ}^n$ mit Lipschitz-Rand und Durchmesser $d$. Weiter sei $m\in \mathbb{N}$ beliebig und $k\in \{0,\dots ,m\}$.

Auf dem Sobolew-Raum $W_p^k(\mathrm{\Omega })$, verwendet man die Halbnorm

$|u{|}_{W_p^k(\mathrm{\Omega })}:={(\sum _{|\alpha |=k}\Vert D^{\alpha }u{\Vert }_{L^p(\mathrm{\Omega })}^p)}^{\frac{1}{p}}.$

Das Lemma von Bramble-Hilbert besagt nun, dass zu jedem $u\in W_p^m(\mathrm{\Omega })$ ein Polynom $v$ existiert, dessen Grad höchstens $m-1$ beträgt, so dass die Ungleichung

$|u-v{|}_{W_p^k(\mathrm{\Omega })}\le C{d}^{m-k}|u{|}_{W_p^m(\mathrm{\Omega })}$

mit einer Konstanten $C=C(m,\mathrm{\Omega })$ erfüllt ist.

Weblinks

• Raytcho D. Lazarov: Bramble-Hilbert lemma. In: Encyclopaedia of Mathematics (englisch).