Monogenes Signal

Das monogene Signal ist eine Verallgemeinerung des analytischen Signals auf mehr als eine Dimension auf Basis der Riesz-Transformation. Das monogene Signal findet Anwendung in der Bildverarbeitung. Mit ihm können Bilder in lokale Amplitude und lokale Phase zerlegt werden.

Definitionen

Monogenes Signal

Es sei d eine natürliche Zahl und $f\in L^2({ℝ}^d)$ eine Funktion. Dann ist das monogene Signal $f_M$ definiert durch

$f_M:=(f,R_{1}f,\dots ,R_{d}f),$

wobei $R_j,j=1,\dots ,d$ die j-te Komponente der Riesz-Transformation bezeichnet.

Riesz-Transformation

Es sei d eine natürliche Zahl. Die j-te Komponente, $j=1,\dots ,d,$ der Riesz-Transformation $R_j$ ist definiert durch

$R_{j}f(x):=c_d\underset{ϵ\to 0}{\lim }\underset{0<ϵ\le \left|y\right|}{\int }\frac{y_j}{{\left|y\right|}^{d+1}}f(x-y)\mathrm{d}y$

mit

$c_d=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{d+1}{2}\right)}{{\pi }^{(d+1)/2}},$

wobei $\mathrm{\Gamma }$ die Gammafunktion bezeichnet.

Die Riesz-Transformation ist definiert als d-dimensionaler Vektor der j-Komponenten $R_j$

$Rf(x):=(R_{1}f(x),\dots ,R_{d}f(x)).$

Zusammenhang mit dem analytischen Signal und der Hilberttransformation

Für $d=1$ ist die Riesz-Transformation die Hilbert-Transformation $\mathscr{H}$ und das monogene Signal entspricht in diesem Fall dem analytischen Signal, wenn man den Vektor des monogenen Signals als komplexe Zahl auffasst, d. h.

$(f(x),R_{1}f(x))=f(x)+i{R}_{1}f(x)=f(x)+i\mathscr{H}f(x)$

Zerlegung in Phase und Amplitude

Das monogene Signal erlaubt eine Zerlegung eines mehrdimensionalen Signals in lokale Amplitude und lokale Phase. Die lokale Amplitude $A$ ist in diesem Falle definiert durch

$A(x)=\sqrt{f^2(x)+(R_{1}f(x){)}^2+\dots +(R_{d}f(x){)}^2},$

der lokale Phasenwinkel $\alpha$ durch

$\alpha (x)=|\mathrm{atan2}(\sqrt{(R_{1}f(x){)}^2+\dots +(R_{d}f(x){)}^2},f)|,$

die lokale Phasenrichtung $u$ durch

$u(x)=\frac{(R_{1}f(x),\dots ,R_{d}f(x))}{\sqrt{(R_{1}f(x){)}^2+\dots +(R_{d}f(x){)}^2}}$

und die lokale Phase $\varphi$ durch

$\varphi (x)=\alpha (x)u(x)=|\mathrm{atan2}(\sqrt{(R_{1}f(x){)}^2+\dots +(R_{d}f(x){)}^2},f)|\frac{(R_{1}f(x),\dots ,R_{d}f(x))}{\sqrt{(R_{1}f(x){)}^2+\dots +(R_{d}f(x){)}^2}}.$

Beispiel

Testbild Zonenlinse

Datei:Zoneplate, Amplitude.jpg Lokale Amplitude

Datei:PhaseOrientation.jpg Lokale Orientierung (lokale Phasenrichtung als Winkel dargestellt, weiß = $\pi$, schwarz = 0)

Datei:PhaseAngle.jpg Lokaler Phasenwinkel

Anwendung in der Bildanalyse

Fasst man die Funktion $f$ als zwei- oder dreidimensionales Bild auf, hat das monogene Signal folgende mögliche Anwendungen:

• Die lokale Phase kann als eine Art optischer Fluss eines Bildes aufgefasst werden. Dabei gibt die lokale Phasenrichtung eine Flussrichtung an, der lokale Phasenwinkel eine Flussstärke.
• Unter Verwendung einer Multiskalenanalyse kann das monogene Signal dazu verwendet werden, Strukturen aus Bildern unabhängig von Helligkeit und Beleuchtungsstärke zu extrahieren.

Literatur

• Vorlage:Literatur
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Software

Die folgenden Softwarepakete implementieren das monogene Signal auf Multiskalenbasis

• Monogenic Wavelet Toolbox for ImageJ, Technische Universität München
• MonogenicJ: A ImageJ plugin for wavelet-based monogenic analysis of images EPF Lausanne