Harris-Kette

Eine Harris-Kette, benannt nach dem Mathematiker Theodore E. Harris, ist eine spezielle Markow-Kette in diskreter Zeit auf einem messbaren Zustandsraum. Harris-Ketten sind unter anderem interessant, da man für diese Ergodensätze formulieren kann.

Definition

Sei $(S,\mathrm{\Sigma })$ ein messbarer Raum. Sei $(X_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ eine Markow-Kette auf dem Zustandsraum $(S,\mathrm{\Sigma })$ mit Übergangskern $P$. Dann heißt $(X_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$ Harris-Kette, falls es Mengen $A,B\in \mathrm{\Sigma }$, ein $\epsilon >0$ und ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\rho$ auf $(S,\mathrm{\Sigma })$ mit $\rho (B)=1$ existieren, so dass gilt:

1. Für alle $x_0\in S$ gilt $\text{P}({\tau }_A<\mathrm{\infty }\mid X_0=x_0)>0$ und
2. für alle $x\in A$ und alle messbaren $C\subseteq B$ gilt $P(x,C)\ge \epsilon \rho (C).$

Dabei bezeichnet ${\tau }_A=\inf \{n\in {\mathbb{N}}_0:X_n\in A\}$ den ersten Eintrittszeitpunkt der Kette in die Menge $A$.