Bahnformel

Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Der Bahnensatz

Formulierung

Sei $(G,\cdot )$ eine Gruppe und $\circ :G\times M\to M$ eine Operation von $G$ auf einer Menge $M$. Dann ist für jedes $x\in M$ die Abbildung

$G/G_x\to G\circ x,g\cdot G_x\mapsto g\circ x$

eine wohldefinierte Bijektion. Dabei bezeichnet

• $G\circ x:=\{g\circ x|g\in G\}\subseteq M$ die Bahn von $x$,
• $G_x:=\{g\in G|g\circ x=x\}\le G$ den Stabilisator von $x$ und
• $G/G_x:=\{g\cdot G_x|g\in G\}\subseteq 𝒫(G)$ die Menge der Linksnebenklassen der Untergruppe $G_x$ in $G$.

Beweis

Siehe: Beweis des Bahnensatzes im Beweisarchiv

Aus dem Bahnensatz folgert man die Bahnformel.

Bahnformel

Im Fall $|G\circ x|<\mathrm{\infty }$ ist $(G:G_x)=|G\circ x|$. Dabei bezeichnet $(G:G_x):=|G/G_x|$ den Index von $G_x$ in $G$. Für endliche Gruppen $G$ gilt daher die Bahnformel

$|G|=|G\circ x|\cdot |G_x|$.

Beispiele

Konjugation

Jede Gruppe $G$ operiert auf sich selber vermöge der Konjugationsoperation $g\circ x:=gx{g}^{-1}$. Die Bahn $G\circ x:=\{gx{g}^{-1}|g\in G\}$ eines Elements $x\in G$ bezeichnet man als Konjugationsklasse von $x$. Der Stabilisator $G_x:=\{g\in G|gx{g}^{-1}=x\}=\{g\in G|gx=xg\}$ heißt Zentralisator von $x$ und wird mit $Z_G(x)$ bezeichnet. Die Bahnformel liefert somit für endliche Gruppen $G$

$|G|=|G\circ x|\cdot |Z_G(x)|$.

Transitive Operation

Ist die Operation einer endlichen Gruppe $G$ auf $M$ transitiv, so ist

$|M|=|G\circ x|=(G:G_x)$.

In diesem Fall muss also die Mächtigkeit von $M$ ein Teiler der Gruppenordnung sein.

Siehe auch

• Gruppenoperation
• Satz von Lagrange
• Eine elegante Anwendung der Bahnformel zeigt der Beweis von Ernst Witt (1931) des (kleinen) Satzes von Wedderburn (1905): „Jeder endliche Schiefkörper ist kommutativ.“

Literatur

• Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 2. Auflage. Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 67
• Rainer Schulze-Pillot: Elementare Algebra und Zahlentheorie. ISBN 978-3-540-45379-6, S. 121–124

Weblinks

• Vorlage:MathWorld (englisch)