Geränderte Hesse-Matrix

Die geränderte Hesse-Matrix (engl. bordered Hessian) dient zur Klassifikation von stationären Punkten bei mehrdimensionalen Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen. Sie ist mit der „normalen“ Hesse-Matrix verwandt. Im Gegensatz zur Hesse-Matrix, welche auf positive bzw. negative Definitheit untersucht wird, ist bei der geränderten Hesse-Matrix das Vorzeichen der Determinante entscheidend.

Entscheidend ist die Vorzeichenfolge der führenden Hauptminoren, wobei gilt, dass man lediglich die k führenden Hauptminoren untersucht, für die gilt: $k>2m$ (m Anzahl der Nebenbedingungen). Untersucht man beispielsweise eine Funktion nach Variablen mit einer Nebenbedingung, muss man $k>2\cdot 1\to k>2$ betrachten, also erst die Vorzeichen ab dem 3. führenden Hauptminor (siehe auch nachfolgendes Beispiel).

Sei $U\subset {ℝ}^n$ offen. Die Funktion $f:U\to ℝ$ sei zweimal stetig differenzierbar und sie habe in $a\in U$ ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung $F=0$, wobei $F=(F_1,\dots ,F_m):U\to {ℝ}^m$ mit $m<n$. Sei nun

$L({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m,x):=f(x)-\sum _{i=1}^m{\lambda }_i{F}_i(x)$

die Lagrange-Funktion mit der Abkürzung $x$ für $x_1,\dots ,x_n$. Dann versteht man unter der geränderten Hesseschen Matrix die $(n+m)\times (n+m)$-Matrix

$\begin{array}{cc}\bar{\mathrm{H}}(\overline{\lambda },a)& :=\left(\begin{array}{cccccc}\frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\lambda }_1^2}& \dots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\lambda }_1\partial {\lambda }_m}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\lambda }_1\partial x_1}& \dots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\lambda }_1\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\lambda }_m\partial {\lambda }_1}& \dots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\lambda }_m^2}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\lambda }_m\partial x_1}& \dots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\lambda }_m\partial x_n}\\ \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1\partial {\lambda }_1}& \dots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1\partial {\lambda }_m}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1^2}& \dots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1\partial x_n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_n\partial {\lambda }_1}& \dots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_n\partial {\lambda }_m}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_n\partial x_1}& \dots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_n^2}\end{array}\right)(\overline{\lambda },a)\\ \end{array}$

bzw. bereits vereinfacht

$\begin{array}{cc}\bar{\mathrm{H}}(\overline{\lambda },a)& :=\left(\begin{array}{cccccc}0& \dots & 0& -\frac{\partial F_1}{\partial x_1}& \dots & -\frac{\partial F_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& \dots & 0& -\frac{\partial F_m}{\partial x_1}& \dots & -\frac{\partial F_m}{\partial x_n}\\ -\frac{\partial F_1}{\partial x_1}& \dots & -\frac{\partial F_m}{\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1^2}& \dots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1\partial x_n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -\frac{\partial F_1}{\partial x_n}& \dots & -\frac{\partial F_m}{\partial x_n}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_n\partial x_1}& \dots & \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_n^2}\end{array}\right)(\overline{\lambda },a)\end{array}$

mit $\overline{\lambda }={\overline{\lambda }}_1,\dots ,{\overline{\lambda }}_m$ den zugehörigen Lösungen der Hilfsgrößen.

Form (2-dimensionaler Fall)

Für eine zweidimensionale Funktion mit einer Nebenbedingung hat die geränderte Hesse-Matrix folgende Gestalt.

Sei $L(x_1,x_2)=f(x_1,x_2)+\lambda g(x_1,x_2)$ die Lagrangefunktion, wobei $f:{ℝ}^2\to ℝ,(x_1,x_2)\mapsto f(x_1,x_2)$ eine beliebige zweidimensionale Funktion und $g(x_1,x_2)=0$ die Nebenbedingung ist, unter welcher optimiert werden soll.

$\overline{\mathrm{H}}(x)=\left(\begin{array}{ccc}0& g_{x1}& g_{x2}\\ g_{x1}& L_{x1x1}& L_{x1x2}\\ g_{x2}& L_{x2x1}& L_{x2x2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{\partial g}{\partial x_1}& \frac{\partial g}{\partial x_2}\\ \frac{\partial g}{\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1^2}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_1\partial x_2}\\ \frac{\partial g}{\partial x_2}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{{\partial }^{2}L}{\partial x_2^2}\end{array}\right)$

Die $0$ auf der Position oben links in der Matrix kommt durch ${\overline{\mathrm{H}}}_{11}=\frac{{\partial }^{2}L}{\partial {\lambda }^2}$ zustande.

Eine stationäre Stelle $x_0$ von $f$ ist dann unter der Nebenbedingung $g$

• lokales Maximum, wenn $\det \overline{H}(x_0)>0$
• lokales Minimum, wenn $\det \overline{H}(x_0)<0$
• unentscheidbar, wenn $\det \overline{H}(x_0)=0$

Weblinks

• Geränderte Hesse-Matrix. Wirtschaftsuniversität Wien.
• Robert Koschig: Das Optimierungsverfahren mit Lagrange-Multiplikatoren.