Pythagoraszahl

Die Pythagoraszahl eines Körpers $F$ ist definiert als das kleinste $p(F)\in \mathbb{N}$, so dass sich jede endliche Summe von Quadraten in $F$ schon als Summe von $p(F)$ Quadraten schreiben lässt.

Definition

Für einen Körper $F$ sei

$\sum F^2:=\left\{\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right|n\in \mathbb{N},a_1,\dots ,a_n\in F\text{ und }\sum _{i=1}^n{a}_i^2\ne 0\}$

die Menge der endlichen Quadratsummen, die ungleich Null sind.

Mit

${\sum }^k{F}^2:=\left\{\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right|n\le k,a_1,\dots ,a_n\in F\text{ und }\sum _{i=1}^n{a}_i^2\ne 0\}$

bezeichnen wir die Menge der Quadratsummen in $F$, die höchstens Länge $k$ haben. Offensichtlich gilt ${\sum }^k{F}^2\subseteq \sum F^2$ für alle $k\in \mathbb{N}$. Unklar ist dagegen, ob immer ein $k\in \mathbb{N}$ existiert, so dass ${\sum }^k{F}^2=\sum F^2$. Als Pythagoraszahl von $F$ bezeichnen wir die folgende Größe:

$p(F):=\min \{k\in \mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\}|{\sum }^k{F}^2=\sum F^2\}$

wobei $p(F)=\mathrm{\infty }$ genau dann, wenn ${\sum }^k{F}^2⊊\sum F^2$ für alle $k\in \mathbb{N}$ gilt. Es ist stets $p(F)\ge 1$.

Die Pythagoraszahl einiger Zahlenkörper

1. Nach dem Satz des Pythagoras gibt es für $a_1,\dots ,a_n\in ℝ$ ein $b\in ℝ$, so dass $a_1^2+\dots +a_n^2=b^2$. Damit ist die Pythagoraszahl der reellen Zahlen $p(ℝ)=1$. Anders ausgedrückt: Man kann aus jeder Quadratsumme in $ℝ$ die Wurzel ziehen. Es ist wahrscheinlich, dass die Pythagoraszahl ihren Namen aus dieser Überlegung herleitet.
2. Die Pythagoraszahl der komplexen Zahlen $p(ℂ)=1$.
3. Nach dem Satz von Euler-Lagrange ist die Pythagoraszahl der rationalen Zahlen $p(\mathbb{Q})=4$, d. h. jede Summe von Quadraten rationaler Zahlen lässt sich schon als Summe von höchstens vier Quadraten schreiben.

Weitere Beispiele und Beweise

Satz Falls $F$ nicht-reeller Körper ist, (das heißt $-1\in \sum F^2$,) lässt sich die Pythagoraszahl von $F$ abschätzen durch die Stufe $s(F)$ von $F$:

$s(F)\le p(F)\le s(F)+1$

Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl nicht-reeller Körper)

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Falls $F$ ein nicht-reeller Körper mit positiver Charakteristik ist, gilt ein Lemma aus dem Buch Squares von A. R. Rajwade, nach dem für einen beliebigen Körper $F$ mit $\text{char}(F)>0$ gilt, dass $s(F)\le 2$ (zum Beweis vgl. Stufe).

Damit gilt für alle nicht-reellen Körper mit positiver Charakteristik, dass $p(F)\le 3$.

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Ganz exakt kann man im Fall $F={𝔽}_q$ werden, wo $q$ eine ungerade Primpotenz ist. Es gilt:

Satz $p({𝔽}_q)=2$ für alle $q=p^n$ wo $p>2$ prim und $n>0$ ist.

Beweis: Siehe Satz (Pythagoraszahl von Körpern mit Charakteristik einer Primpotenz)

Die Pythagoraszahl bei Körpererweiterungen der rationalen Zahlen

Sei $F/\mathbb{Q}$ eine endlich erzeugte Körpererweiterung über den rationalen Zahlen, sei weiter $d=\text{trdeg}(F)$ der Transzendenzgrad von $F$ über $\mathbb{Q}$.

Unter Verwendung der Milnorschen Vermutung (vgl. K-Theorie: Milnorvermutung), die von Wladimir Wojewodski bewiesen wurde, lässt sich zeigen, dass $p(F)\le 2^{d+2}$ für alle $d$ gilt.

Wegen $p(\mathbb{Q})=4$ ist diese Abschätzung scharf für $d=0$.

Für $d=1$ wurde bisher $p(F)\le 6$ gezeigt. Vermutlich gilt aber sogar $p(F)\le 5$, was dann wegen $p(\mathbb{Q}(t))=5$ eine scharfe Abschätzung wäre.

Eine ausführliche Darstellung des Beweises von $p(F)\le 2^{d+2}$ findet sich in der Arbeit Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern, s. u.

Siehe auch

• Pythagoreischer Körper

Weblinks

• Über die Pythagoraszahl von Funktionenkörpern