Reeb-Graph

Der Reeb-Graph ist ein topologischer Graph benannt nach dem französischen Mathematiker Georges Reeb (1920–1993). Er hat seinen Ursprung in der Morse-Theorie.

Definition

Sei $f:M\to ℝ$ eine stetige skalare Funktion über der kompakten Mannigfaltigkeit $M$. Der Reeb-Graph von $M$ bezüglich $f$ ist der Quotientenraum von $M$, der von der Äquivalenzrelation $x\sim y$ induziert wird. Es gilt $x\sim y$ genau dann, wenn

• $f(x)=f(y)$ und
• $x$ und $y$ in derselben Zusammenhangskomponente von $f^{-1}(f(x))$ liegen.

Das heißt, Knoten entstehen an Punkten, an denen sich die Topologie von $M$ bezüglich $f$ ändert. Diese werden auch als kritische Punkte bezeichnet.

Literatur

• G. Reeb: Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complètement intégrable ou d’une fonction numérique. C. R. Acad. Sci. Paris 222, 847–849 (1946)