Satz von der monotonen Konvergenz

Der Satz von der monotonen Konvergenz, auch Satz von Beppo Levi genannt (nach Beppo Levi), ist ein wichtiger Satz aus der Maß- und Integrationstheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er trifft eine Aussage darüber, unter welchen Voraussetzungen sich Integration und Grenzwertbildung vertauschen lassen.

Mathematische Formulierung

Sei $(\mathrm{\Omega },𝒮,\mu )$ ein Maßraum. Ist $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_n:\mathrm{\Omega }\to [0,\mathrm{\infty }]$, die μ-fast überall monoton wachsend gegen eine messbare Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to [0,\mathrm{\infty }]$ konvergiert, so gilt

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f\mathrm{d}\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu .$

Variante für fallende Folgen

Ist $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Funktionenfolge nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_n:\mathrm{\Omega }\to [0,\mathrm{\infty }]$ mit $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}_1\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$, die μ-fast überall monoton fallend gegen eine messbare Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to [0,\mathrm{\infty }]$ konvergiert, so gilt ebenso

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f\mathrm{d}\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu .$

Beweisidee

Dass die rechte Seite kleinergleich der linken ist, folgt aus der Monotonie des Integrals. Für den Beweis maßgeblich ist also die andere Richtung: Diese lässt sich etwa zuerst für einfache Funktionen zeigen und von da aus auf allgemeine messbare Funktionen übertragen.

Wahrscheinlichkeitstheoretische Formulierung

Sei $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine nichtnegative, fast sicher monoton wachsende Folge von Zufallsvariablen, dann gilt für ihre Erwartungswerte

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{E}(X_n)=\mathrm{E}\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_n\right)$.

Eine analoge Aussage gilt auch für bedingte Erwartungswerte: Ist $𝒢\subset 𝒜$ eine Teil-$\sigma$-Algebra und $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_n$ integrierbar, so gilt fast sicher

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{E}(X_n\mid 𝒢)=\mathrm{E}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{X}_n\mid 𝒢).$

Anwendung des Satzes auf Funktionenreihen

Sei $(\mathrm{\Omega },𝒮,\mu )$ wieder ein Maßraum. Für jede Folge $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ nichtnegativer, messbarer Funktionen $f_n:\mathrm{\Omega }\to [0,\mathrm{\infty }]$ gilt

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n\mathrm{d}\mu =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{f}_n\mathrm{d}\mu .$

Dies folgt durch Anwendung des Satzes auf die Folge $s_N={\sum }_{n=1}^N{f}_n$ der Partialsummen. Da die $f_n$ nichtnegativ sind, ist $(s_N{)}_{N\in \mathbb{N}}$ monoton wachsend.

Siehe auch

• Satz von der majorisierten Konvergenz
• Lemma von Fatou

Literatur

• Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence, RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.