Punktprobe

Bei der Punktprobe wird rechnerisch entschieden, ob ein Punkt in einer gegebenen Punktmenge liegt, also ob Inzidenz vorliegt. Dabei sind verschiedene Punktmengen möglich:

Liegt ein Punkt

• auf einem Funktionsgraphen in einem x-y-Koordinatensystem?
• auf einer Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem?
• auf einer Ebene im dreidimensionalen Koordinatensystem?

Verfahren

Eine Punktprobe wird durchgeführt, indem man die Koordinaten des Punktes in die Gleichung der Punktmenge einsetzt. Erfüllt der Punkt die Gleichung, d. h. entsteht eine wahre Aussage, so liegt der Punkt in der Punktmenge. Entsteht eine falsche Aussage, so liegt der Punkt nicht in der Punktmenge.

Somit ist es möglich, am Ende einer Rechnung zu überprüfen, ob z. B. ein berechneter Schnittpunkt zweier Geraden tatsächlich auf beiden Geraden liegt.

Beispiele

Lineare Funktion

Liegt der Punkt $P(4|7)$ auf der Geraden $g$ mit der Funktionsgleichung $y=2x-5$ ?

In der Gleichung $y=2x-5$ setzt man für $x$ die x-Koordinate von $P$ und für $y$ die y-Koordinate von $P$ ein und erhält die Gleichung: $7=2\cdot 4-5$. Das ist keine wahre Aussage, somit liegt der Punkt $P$ nicht auf der Geraden $g$. Aus dieser Punktprobe lässt sich noch mehr schließen: Aus $7>3$ folgt, dass der Punkt $P$ oberhalb der Geraden $g$ liegt.

Geradengleichung in Parameterform

Liegt der Punkt $Q(8|3|5)$ auf der Geraden $h$ mit der Parametergleichung $h:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 4\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -1\\ 2\end{array}\right),\lambda \in ℝ$ ?

Für den Vektor $\overrightarrow{x}$ setzt man den Ortsvektor des Punktes $Q$, $\left(\begin{array}{c}8\\ 3\\ 5\end{array}\right)$, ein und löst zeilenweise, also für jede der drei Koordinaten einzeln, nach dem Parameter $\lambda$ auf. Für die erste Koordinate (1. Zeile) erhält man die Gleichung $8=2+3\cdot \lambda$, also $\lambda =2$. Da für die 2. Koordinate (zweite Zeile) aus der Gleichung $3=0-\lambda$ aber $\lambda =-3$ folgt, gibt es einen Widerspruch. Da es also keine reelle Zahl $\lambda$ gibt, die alle drei Koordinatengleichungen (Zeilengleichungen) gleichzeitig in drei wahre Aussagen überführt, liegt der Punkt $Q$ nicht auf der Geraden $h$.

Ebenengleichung in Koordinatenform

Liegt der Punkt $R(2|1|11)$ auf der Ebene mit der Koordinatengleichung $E:3x_1+7x_2-x_3=2$ ?

Für $x_1$, $x_2$ und $x_3$ setzt man die entsprechenden Koordinaten des Punktes $R$ ein. $3\cdot 2+7\cdot 1-11=2$. Dies ist eine wahre Aussage, somit liegt der Punkt $R$ in der Ebene $E$.

Weitere Anwendungen

Geradengleichung in Punktsteigungsform

Die Punktprobe kann auch dazu verwendet werden, eine Geradengleichung zu bestimmen, wenn ein Punkt $P(x_1|y_1)$ der Gerade $g$ und deren Steigung $m$ bekannt sind. Ansatz für die Geradengleichung: $y=m\cdot x+c$ mit $m,c\in ℝ$.

Der y-Achsenabschnitt $c$ wird nun bestimmt, indem man die „Punktprobe“ für den Punkt $P$ durchführt und die Geradengleichung nach $c$ auflöst. Man erhält: $c=y_1-m\cdot x_1$. Die Geradengleichung für die Gerade g lautet dann: $y=m\cdot x+y_1-m\cdot x_1\iff y=m\cdot (x-x_1)+y_1$. Dies ist die Punktsteigungsform.

Bestimmung der Parameter einer ganz-rationalen Funktion 2. Grades

Die Punktprobe kann, so drei Punkte $P_1,P_2,P_3$ des ${ℝ}^2$ gegeben sind, zur Bestimmung einer quadratischen Gleichung bzw. eines Funktionsterms $f$ verwendet werden, der als Schaubild eine Parabel besitzt. Die allgemeine Zuordnungsvorschrift einer ganz-rationalen Funktion 2. Grades lautet:

$f:x\mapsto f(x)=a{x}^2+bx+c$ mit $a,b,c\in ℝ$

Nun führt man die Punktprobe für jeden der Punkte $P_1,P_2,P_3$ durch und erhält ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den Variablen a, b und c. Nach Auflösung dieses Gleichungssystem nach den drei Variablen kann man den Funktionsterm der Funktion $f$ aufstellen, der nach jeweils einer Punktprobe für die Koordinaten von $P_1,P_2,P_3$ in wahre Aussagen übergeht.

Auswerten von Messreihen

Gegeben seien $n$ Messwerte. Gesucht ist ein Modell, in dem der funktionale Zusammenhang der Messwerte am besten dargestellt wird. $k$ ($k\le n$) Messwerte werden benötigt, um über ein Gleichungssystem mit $k$ Gleichungen die Modellparameter zu berechnen. Mit den restlichen $n-k$ quasi überzähligen Messwerten kann man dann durch entsprechend viele Punktproben und deren Auswertung die Güte der Approximation der Daten in diesem Modell untersuchen.