Repunit

Repunit ist ein Kofferwort aus den englischen Wörtern repeated (wiederholt) und unit (Einheit) und bezeichnet eine Zahl, die nur die Ziffer 1 enthält. Eine Repunit ist eine besondere Repdigit („Schnapszahl“); die Bezeichnung Repunit wurde 1966 von Albert H. Beiler geprägt.^[1] Im Deutschen wird auch die Bezeichnung Einserkolonne oder Einserschlange verwendet.

Eine prime Repunit oder Repunit-Primzahl ist eine Repunit, die zugleich eine Primzahl ist.

Definition

Mathematisch sind Repunits (im Dezimalsystem) definiert als

R_{n} = \frac{1 0^{n} - 1}{9} = \sum_{k = 0}^{n - 1} 1 0^{k} = \overset{n Ziffern}{\overset{⏞}{11 \dots 1}}

, mit

n \in ℕ^{+}

.

Zudem lässt sich auch eine rekursive Definition angeben:

R_{n} = {\begin{matrix} 1, & wenn n = 1, \\ 1 0^{n - 1} + R_{n - 1}, & wenn n \geq 2 . \end{matrix}

Die Zahl $R_{n}$ besteht also aus genau $n$ Einsen ( $n \geq 1$ ). Die Folge der Repunits beginnt wie folgt: 1, 11, 111, 1111, … (Vorlage:OEIS).

Repunit-Primzahlen

Die Definition der Repunits entstand historisch auf der Suche nach einer Zerlegung solcher Zahlen in ihre Primfaktoren. Die Frage, ob eine Repunit-Zahl eine Primzahl ist, beschäftigte Mathematiker schon im 19. Jahrhundert. So verfasste Carl Gustav Jacob Jacobi eine Arbeit mit dem Titel „Untersuchung, ob die Zahl 11111111111 eine Primzahl ist oder nicht. Ein Kuriosum, veranlasst durch Dase.“

Es ist einfach zu zeigen, dass $R_{n}$ durch $R_{a}$ teilbar ist, falls $n$ durch $a$ teilbar ist. Zum Beispiel ist $R_{9}$ teilbar durch $R_{3}$ : 111111111 = 111 · 1001001. Deshalb muss notwendig $n$ eine Primzahl sein, damit $R_{n}$ eine Primzahl sein kann. Diese Bedingung ist jedoch nicht hinreichend, zum Beispiel ist $R_{3}$ keine Primzahl, da $R_{3} = 111 = 3 \cdot 37$ .

Außer für dieses Beispiel von $R_{3}$ kann $p$ nur Teiler von $R_{n}$ sein (für eine Primzahl $n$ ), wenn $p = 2 k n + 1$ für ein bestimmtes $k$ .

Repunit-Primzahlen sind selten. $R_{n}$ ist eine Primzahl für $n = 2, 19, 23, 317, 1031, \dots$ (Vorlage:OEIS). Die im September 1999 von Harvey Dubner bzw. im Oktober 2000 von Lew Baxter gefundenen $R_{49081}$ und $R_{86453}$ sind wahrscheinlich Primzahlen (sogenannte PRP-Zahlen). Ende März 2007 ermittelten Paul Bourdelais und Harvey Dubner $R_{109297}$ als primzahlverdächtig, vier Monate später fanden Maksym Voznyy und Anton Budnyy $R_{270343}$ . Serge Batalov und Ryan Propper fanden binnen kürzester Zeit am 20. April 2021 $R_{5794777}$ und am 8. Mai 2021 $R_{8177207}$ als gegenwärtig (27. Mai 2021) größte bekannte wahrscheinliche Repunit-Primzahlen.^[2] Es wird vermutet, dass es unendlich viele Repunit-Primzahlen gibt.^[3]

Verallgemeinerte Repunits

Da die obige Definition von Repunits auf dem Dezimalsystem beruht, mag diese Definition zunächst willkürlich erscheinen. Man kann die zugrunde liegende Idee jedoch verallgemeinern, indem man Repunits bezüglich einer beliebigen Basis $b$ definiert:

R_{n}^{(b)} = \frac{b^{n} - 1}{b - 1} = \sum_{k = 0}^{n - 1} b^{k} = \underset{Zahl zur Basis b}{\underset{⏟}{\overset{n Ziffern}{\overset{⏞}{11 \dots 1}}_{b}}}

, mit

b, n \in ℕ

,

b \geq 2

,

n \geq 1

Die verallgemeinerte rekursive Definition lautet:

R_{n}^{(b)} = {\begin{matrix} 1, & wenn n = 1, \\ b^{n - 1} + R_{n - 1}^{(b)}, & wenn n \geq 2 . \end{matrix}

Die Zahl $R_{n}^{(b)}$ besteht also aus genau $n$ Einsen ( $n \geq 1$ ), wenn sie als Zahl zur Basis $b$ notiert wird (wobei $R_{1}^{(b)}$ unabhängig von der Basis immer gleich 1 ist).

Wertetabelle einiger Repunits als Beispiel:

Gegenüberstellung einiger Repunit-Werte $R_{n}^{(b)}$ für gebräuchliche Zahlensysteme
$R_{n}^{(b)}$	Binärsystem $b = 2$		Oktalsystem $b = 8$		Dezimalsystem $b = 10$	Hexadezimalsystem $b = 16$
$n$	binär	dezimal	oktal	dezimal	dezimal	hexadezimal	dezimal
1	1₂	1₁₀	1₈	1₁₀	1₁₀	1₁₆	1₁₀
2	11₂	3₁₀	11₈	9₁₀	11₁₀	11₁₆	17₁₀
3	111₂	7₁₀	111₈	73₁₀	111₁₀	111₁₆	273₁₀
4	1111₂	15₁₀	1111₈	585₁₀	1111₁₀	1111₁₆	4369₁₀
5	11111₂	31₁₀	11111₈	4681₁₀	11111₁₀	11111₁₆	69905₁₀
6	111111₂	63₁₀	111111₈	37449₁₀	111111₁₀	111111₁₆	1118481₁₀
7	1111111₂	127₁₀	1111111₈	299593₁₀	1111111₁₀	1111111₁₆	17895697₁₀
8	11111111₂	255₁₀	11111111₈	2396745₁₀	11111111₁₀	11111111₁₆	286331153₁₀
9	111111111₂	511₁₀	111111111₈	19173961₁₀	111111111₁₀	111111111₁₆	4581298449₁₀
10	1111111111₂	1023₁₀	1111111111₈	153391689₁₀	1111111111₁₀	1111111111₁₆	73300775185₁₀

Es ist einfach zu beweisen, dass für jedes $n$ , das nicht ohne Rest durch 2 oder $p$ teilbar ist, eine Repunit zur Basis $2 p$ existiert, die ein Vielfaches von $n$ ist.

Die Basis-2-Repunits sind bekannt als die Mersenne-Zahlen: $M_{n} = 2^{n} - 1$

Die Repunit-Primzahlen sind eine Teilmenge der permutierbaren Primzahlen, also der Primzahlen, die Primzahlen bleiben, wenn man ihre Ziffern beliebig vertauscht.

Eine besonders große verallgemeinerte Repunit-Primzahl mit 37.090 Stellen berechnete Andy Steward 2006 mit $\frac{2883 9^{8317} - 1}{28838}$ . Im Jahr 2010 fand Tom Wu mit $\frac{154 9^{12973} - 1}{1548}$ eine noch größere mit 41.382 Stellen.^[4] Die derzeit (31. Mai 2021) größte bekannte verallgemeinerte Repunit-Primzahl ist $\frac{717 6^{24691} - 1}{7175}$ mit 95.202 Stellen und wurde von Tom Wu im Juni 2017 entdeckt.^[5]

Repunit-Primzahl zu unterschiedlichen Basen

Beispiele:

Die Repunit $R_{7}^{(5)} = 111111 1_{5}$ ist zur Basis $b = 5$ eine Primzahl, weil $111111 1_{5} = \underline{1} \cdot 5^{6} + \underline{1} \cdot 5^{5} + \underline{1} \cdot 5^{4} + \underline{1} \cdot 5^{3} + \underline{1} \cdot 5^{2} + \underline{1} \cdot 5^{1} + \underline{1} \cdot 5^{0} = 15625 + 3125 + 625 + 125 + 25 + 5 + 1 = 19531 \in ℙ$ eine Primzahl ist.
Es folgt eine Tabelle der kleinsten Repunit-Primzahlen $R_{n}^{(b)}$ zu Basen $b \leq 12$ , im Dezimalsystem geschrieben

Basis $b$	die kleinsten Repunit-Primzahlen $R_{n}^{(b)} = {\overset{n Einser}{\overset{⏞}{11 \dots 1}}}_{b}$ zu Basen $b \leq 12$ , im Dezimalsystem geschrieben	OEIS-Folge
Basis $b$	die dazugehörigen $n$ , für die obige Repunits Primzahlen sind	OEIS-Folge
2	3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727, … (alle Mersenne-Primzahlen)	Vorlage:OEIS
2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, ...	Vorlage:OEIS
3	13, 1093, 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013, ...	Vorlage:OEIS
3	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, 2215303, 2704981, 3598867, ...	Vorlage:OEIS
4	5 (die einzige, weil $4^{n} - 1 = (2^{n} + 1) (2^{n} - 1)$ ist und die Zahl $3$ für ungerade $n$ ein Teiler von $2^{n} + 1$ und für gerade $n$ ein Teiler von $2^{n} - 1$ ist)
4	2
5	31, 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 14693679385278593849609206715278070972733319459651094018859396328480215743184089660644531, 35032461608120426773093239582247903282006548546912894293926707097244777067146515037165954709053039550781, ...	Vorlage:OEIS
5	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, 3300593, ...	Vorlage:OEIS
6	7, 43, 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371, ...	Vorlage:OEIS
6	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, 1365019, ...	Vorlage:OEIS
7	2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537320447270457, 138502212710103408700774381033135503926663324993317631729227790657325163310341833227775945426052637092067324133850503035623601, ...	Vorlage:OEIS
7	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	Vorlage:OEIS
8	73 (die einzige, weil $8^{n} - 1 = (4^{n} + 2^{n} + 1) (2^{n} - 1)$ und der erste Faktor $4^{n} + 2^{n} + 1$ durch 7 teilbar ist, wenn $n$ nicht durch 3 teilbar ist bzw. der zweite Faktor $2^{n} - 1$ durch 7 teilbar ist, wenn $n$ ein Vielfaches von 3 ist)
8	3
9	es gibt keine einzige prime Repunit mit dieser Basis, weil $9^{n} - 1 = (3^{n} + 1) (3^{n} - 1)$ und sowohl $3^{n} + 1$ als auch $3^{n} - 1$ gerade sind
9	-
10	11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ...	Vorlage:OEIS
10	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207, ...	Vorlage:OEIS
11	50544702849929377, 6115909044841454629, 1051153199500053598403188407217590190707671147285551702341089650185945215953, 567000232521795739625828281267171344486805385881217575081149660163046217465544573355710592079769932651989153833612198334843467861091902034340949, ...
11	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, 1868983, ...	Vorlage:OEIS
12	13, 157, 22621, 29043636306420266077, 43570062353753446053455610056679740005056966111842089407838902783209959981593077811330507328327968191581, 388475052482842970801320278964160171426121951256610654799120070705613530182445862582590623785872890159937874339918941, ...
12	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	Vorlage:OEIS

Weblinks

Vorlage:MathWorld
Giovanni Di Maria: The Repunit Primes Project.

Einzelnachweise

↑ Albert H. Beiler: Recreations in the Theory of Numbers. The queen of mathematics entertains. 2. Auflage. Dover, New York 1966, Kap. XI, S. 83 ff.
↑ Giovanni Di Maria: The Repunit Primes Project.
↑ Chris K. Caldwell: The Prime Glossery: Repunit.
↑ Andy Steward: Vorlage:Webarchiv
↑ Vorlage:Internetquelle

[1] Albert H. Beiler: Recreations in the Theory of Numbers. The queen of mathematics entertains. 2. Auflage. Dover, New York 1966, Kap. XI, S. 83 ff.

[2] Giovanni Di Maria: The Repunit Primes Project.

[3] Chris K. Caldwell: The Prime Glossery: Repunit.

[4] Andy Steward: Vorlage:Webarchiv

[5] Vorlage:Internetquelle

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