Störungslemma

Als Störungslemma bezeichnet man in der Numerik einen Satz, der eine Aussage über die Norm der Inversen einer regulären Matrix bei kleinen Störungen macht.

Aussage

Sei $A\in {ℝ}^{n\times n}$ eine reguläre Matrix und $\delta A\in {ℝ}^{n\times n}$ eine Matrix mit

$\Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert \delta A\Vert <1$

in einer submultiplikativen Matrixnorm $\Vert \cdot \Vert$. Dann ist auch die Matrix $A+\delta A$ regulär und es gilt für ihre Inverse:

$\Vert (A+\delta A{)}^{-1}\Vert \le \frac{\Vert A^{-1}\Vert }{1-\Vert A^{-1}\Vert \Vert \delta A\Vert }.$

Beweis

Sei $T:=I-A^{-1}(A+\delta A)$. Dann gilt

$\Vert T\Vert =\Vert A^{-1}\cdot \delta A\Vert \le \Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert \delta A\Vert <1$

Also konvergiert die Neumann-Reihe $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^n$ und $I-T=A^{-1}(A+\delta A)$ ist invertierbar. Da $A^{-1}$ invertierbar ist, folgt, dass auch $A+\delta A$ invertierbar ist und

$\Vert (A+\delta A{)}^{-1}\Vert =\Vert (I-T{)}^{-1}{A}^{-1}\Vert \le \Vert A^{-1}\Vert \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\Vert T^n\Vert \le \frac{\Vert A^{-1}\Vert }{1-\Vert A^{-1}\Vert \Vert \delta A\Vert }$

Verwendung

Dieses Lemma wird verwendet, um die Konditionszahl für das Lösen linearer Gleichungssysteme als

$\kappa (A)=\Vert A\Vert \cdot \Vert A^{-1}\Vert$

herzuleiten.

Literatur

• J. W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia 1997
• A. Kielbasinski und H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988, ISBN 3-326-00194-0