IP-Menge

In der Mathematik bezeichnet der Begriff IP-Menge eine Menge natürlicher Zahlen, die alle endlichen Summen einer unendlichen Menge von natürlichen Zahlen enthält. Die Bezeichnung IP-Menge (IP-set) geht auf Hillel Fürstenberg und Barak Weiss zurück; IP steht dabei für „Infinite-dimensional Parallelepiped“.

Definition

Die endlichen Summen einer Menge $D$ von natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die sich als Summe der Elemente einer nichtleeren endlichen Teilmenge von $D$ darstellen lassen. Die Menge aller endlichen Summen von $D$ wird auch als $FS(D)$ bezeichnet; dabei steht FS für Finite Sums.

Eine Menge $A$ von natürlichen Zahlen ist eine IP-Menge, falls eine unendliche Menge $D$ existiert, so dass $FS(D)$ in $A$ enthalten ist.

Manchmal wird auch eine leicht abweichende Definition verwendet: man verlangt dann, dass sogar $A=FS(D)$ für ein passendes $D$ ist.

Der Satz von Hindman

Der Satz von Hindman, oder auch das Finite Sums Theorem, lautet wie folgt:

Ist $S$ eine IP-Menge und $S=C_1\cup C_2\cup ...\cup C_n$, so ist wenigstens eine der Mengen $C_i$ eine IP-Menge.

Da die Menge der natürlichen Zahlen selbst auch eine IP-Menge ist und man Partitionen auch als Färbungen auffassen kann, lässt sich folgender Spezialfall des Satzes von Hindman formulieren:

Sind die natürlichen Zahlen mit $n$ Farben gefärbt, so gibt es für mindestens eine Farbe $c$ eine unendliche Menge $D$, so dass alle Elemente von $D$ und sogar alle endlichen Summen von $D$ die Farbe $c$ haben.

Halbgruppen

Die IP-Eigenschaft kann man nicht nur für die natürlichen Zahlen, die mit der Addition eine Halbgruppe bilden, definieren, sondern auch ganz allgemein für Halbgruppen und partielle Halbgruppen.

Quellen

• V. Bergelson, I. J. H. Knutson, R. McCutcheon: Simultaneous diophantine approximation and VIP Systems (PDF; 127 kB) Acta Arith. 116, Academia Scientiarum Polona, (2005), 13–23
• V. Bergelson: Minimal Idempotents and Ergodic Ramsey Theory (PDF; 349 kB) Topics in Dynamics and Ergodic Theory 8-39, London Math. Soc. Lecture Note Series 310, Cambridge Univ. Press, Cambridge, (2003)
• H. Fürstenberg, B. Weiss: Topological Dynamics and Combinatorial Number Theory, J. d'Analyse Math. 34 (1978), 61–85
• J. McLeod: Some Notions of Size in Partial Semigroups Topology Proceedings, Vol. 25 (2000), 317–332