Satz von Clairaut (Differentialgeometrie)

Der Satz von Clairaut (benannt nach Alexis-Claude Clairaut) ist eine Aussage der klassischen Differentialgeometrie.

Aussage

Sei $S$ eine Rotationsfläche und $c:]a,b[\to S$ mit $s\mapsto c(s)$ eine reguläre Kurve auf $S$. Es bezeichne $r(s)$ den Radius des Breitenkreises durch $c(s)$ sowie $\alpha (s)$ den Schnittwinkel der Kurve mit diesem Breitenkreis. Dann gelten:

• Ist $c$ eine geodätische Linie, so ist die Funktion $r\cos \alpha$ längs $c$ konstant.
• Ist $r\cos \alpha$ längs $c$ konstant und $c$ kein Breitenkreis, so ist $c$ eine geodätische Linie.

Beweis

Sei $(u,v)\to (r(v)\cos u,r(v)\sin u,h(v))$ eine Parametrisierung der Fläche $S$, wobei wir o. B. d. A. $v$ als Bogenlänge der erzeugenden Kurve $(r(v),h(v))$ annehmen können. Damit berechnen wir die Koeffizienten der 1. Fundamentalform zu

$E(u,v)=(r(v){)}^2$, $F(u,v)=0$, $G(u,v)=1$.

Sei $s\to \overrightarrow{c}(s)$ o. B. d. A. nach der Bogenlänge $s$ parametrisiert. Um den Satz von Liouville anwenden zu können, berechnen wir explizit die geodätischen Krümmungen der $u$-Linien (Breitenkreise) und $v$-Linien (Meridiane):

${\kappa }_{g,u}=-\frac{1}{r}\frac{dr}{dv},{\kappa }_{g,v}=0.$

Daraus ergibt sich die geodätische Krümmung der Kurve $\overrightarrow{c}$ zu

${\kappa }_g=-\frac{1}{r}\frac{dr}{dv}\cos \alpha +\frac{d\alpha }{ds}.$ (1)

Differenzieren der Funktion $C(s)=r(\overrightarrow{c}(s))\cos \alpha (s)$ liefert:

$\frac{dC}{ds}=\frac{dr}{dv}\frac{dv}{ds}\cos \alpha -r\sin \alpha \cdot \frac{d\alpha }{ds}.$

Mit $\frac{dv}{ds}=\frac{\sin \alpha }{\sqrt{G}}$ folgt aus (1)

$\frac{dC}{ds}=-r\sin \alpha \cdot {\kappa }_g$

und damit die Behauptung.

Anwendung in der Landesvermessung

In der Landesvermessung stellt sich das Problem, zu gegebenem Anfangspunkt und -richtung eine geodätische Linie zu berechnen, die sogenannte erste geodätische Hauptaufgabe.

Seien $a$ und $b$ die Halbachsen des Referenzellipsoids und $e^2=(a^2-b^2)/a^2$ das Quadrat der (ersten) numerischen Exzentrizität. Der Radius des Breitenkreises mit der ellipsoidischen Breite $\varphi$ beträgt

$P(\varphi )=N(\varphi )\cos \varphi =\frac{a}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\varphi }}\cos \varphi .$

Als Azimut bezeichnet man den Schnittwinkel der Linie mit der Nordrichtung. Damit folgt aus dem Satz von Clairaut die Konstanz von

$\frac{a}{\sqrt{1-e^2{\sin }^2\varphi }}\cos \varphi \sin A$

entlang der Geodätischen. Führt man die reduzierte Breite $\beta$ gemäß der Formel $\tan \beta =\sqrt{1-e^2}\tan \varphi$ ein, so folgt die Konstanz von

$\cos \beta \sin A.$

Dieser Wert heißt die clairautsche Konstante der geodätischen Linie.

Literatur

• Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. Band 3. 3rd edition. Publish or Perish Press, Houston TX 1999, ISBN 0-914098-72-1, S. 214–216.