Càdlàg-Funktion

Eine Càdlàg-Funktion (auch Cadlag) ist eine spezielle reellwertige Funktion, die beispielsweise in der Stochastik angewendet wird. Dabei ist Càdlàg ein französisches Akronym (Vorlage:FrS „rechtsseitig stetig, mit Grenzwerten von links“). Teils findet sich auch die aus dem englischen abgeleitete RCLL (Vorlage:Lang). Analog spricht man auch von Càglàd-Funktionen (oder Làdcàg-Funktionen) (continue à gauche, limite à droite).

Definition

Verteilungsfunktionen sind Beispiele für Càdlàg-Funktionen

Sei $E$ ein polnischer Raum wie beispielsweise ${ℝ}^n$. Eine Funktion

$f:[0,\mathrm{\infty })\to E$

heißt

• Càdlàg-Funktion, wenn für alle $x\in [0,\mathrm{\infty })$ die Funktion $f$ in $x$ rechtsseitig stetig ist und der linksseitige Grenzwert in $x$ existiert und endlich ist.
• Càglàd-Funktion, wenn für alle $x\in [0,\mathrm{\infty })$ die Funktion $f$ in $x$ linksseitig stetig ist und der rechtsseitige Grenzwert in $x$ existiert und endlich ist.

Der Raum aller Càdlàg-Funktionen $f:I\to {ℝ}^d$ auf einem Intervall $I=[a,b]$ wird oft mit $D([a,b])$ bezeichnet.

Anwendungen in der Stochastik

Die Verteilungsfunktion $F(x)=P(X\le x)$ einer reellen Zufallsvariablen $X$ ist stets eine Càdlàg-Funktion.

Ein stochastischer Prozess $X=(X_t{)}_{t\ge 0}$ wird càdlàg genannt, wenn fast sicher jeder Pfad $t\to X_t$ an jeder Stelle $t$ rechtsseitig stetig ist und dort die linksseitigen Grenzwerte existieren. Ein Beispiel dafür sind Poisson-Prozesse.

Literatur

• Vorlage:Literatur

Weblinks

• Vorlage:MathWorld