Satz von Hurwitz (Funktionentheorie)

Der Satz von Hurwitz (nach Adolf Hurwitz (1859–1919) benannt) ist ein Satz aus der Funktionentheorie.

Der Satz von Hurwitz

Sei $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge von Funktionen die auf einem Gebiet $G$ holomorph sind und die Folge $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiere kompakt gegen $f$. Ist außerdem die Anzahl der Nullstellen der Funktionen $f_n$ (ab einem Index) durch $M$ beschränkt, dann gilt:

Die Grenzfunktion $f$ hat maximal $M$ Nullstellen auf $G$ oder $f\equiv 0$ auf $G$ ($f$ ist die Nullfunktion).

Folgerung

Sei $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge von Funktionen, die auf einem Gebiet $G$ holomorph und injektiv sind, und die Folge $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergiere kompakt gegen $f$.

Dann ist $f$ injektiv auf $G$ oder konstant auf $G$.

Weblinks

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