Besselsche Interpolationsformel

Die Besselsche Interpolationsformel gehört zu den Interpolationsformeln mit äquidistanten Stützstellen. Mit ihrer Hilfe lassen sich Funktionen als Polynome n-ten Grades darstellen. n bestimmt sich aus den (n+1) Stützstellen. Sie wurde nach Friedrich Wilhelm Bessel, ihrem Urheber, benannt.

Differenzentabelle

Zuerst erstellt man eine sogenannte Differenzentabelle, in der die Interpolationspunkte $x_i$ in gleichen Abständen aufeinander folgen. Dieser Abstand h berechnet sich nach $h=x_{i+1}-x_i$. $x_0$ liegt in der Mitte der Stützpunkte. Die Differenzen berechnen sich nun wie folgt: $\mathrm{\Delta }{f}_i=f_{1+i}-f_i$, alle weiteren analog dazu ${\mathrm{\Delta }}^k{f}_i={\mathrm{\Delta }}^{k-1}{f}_{i+1}-{\mathrm{\Delta }}^{k-1}{f}_i$.

Die Formel

Die Berechnung des Polynoms $\phi$ erfolgt dann mit der Formel:

$\phi =f_0+u\mathrm{\Delta }{f}_0+\frac{u(u-1)}{2}\cdot \frac{{\mathrm{\Delta }}^2{f}_{-1}+{\mathrm{\Delta }}^2{f}_0}{2}+\frac{u(u-1)(u-0,5)}{3!}\cdot {\mathrm{\Delta }}^3{f}_{-1}$ $+\frac{u(u^2-1)(u-2)}{4!}\cdot \frac{{\mathrm{\Delta }}^4{f}_{-2}+{\mathrm{\Delta }}^4{f}_{-1}}{2}+...$ $...+\frac{(u-0,5)u(u^2-1)...(u^2-(n-1{)}^2)(u-n)}{(2n+1)!}\cdot {\mathrm{\Delta }}^{2n+1}{f}_{-1}$

mit $u=\frac{x-x_0}{h}$.