Heisenberg-Algebra

Die Heisenberg-Algebra ist eine 3-dimensionale, reelle Lie-Algebra mit den Erzeugern $P,Q,R$, für die gilt

$[P,Q]=R$

$[P,R]=[Q,R]=0$

Sie ist die Lie-Algebra der Heisenberg-Gruppe.

Darstellung

Man kann die Heisenberg-Algebra als Algebra von Matrizen darstellen, indem man definiert

$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),Q=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right),R=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

und als Lie-Klammer den Kommutator von Matrizen $[X,Y]=XY-YX$ verwendet.

Verallgemeinerung

Entsprechend den verallgemeinerten Heisenberg-Gruppen gibt es auch verallgemeinerte Heisenberg-Algebren, die Lie-Algebren der verallgemeinerten Heisenberg-Gruppen.