Pochhammer-Symbol

Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion, die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.

Die Verallgemeinerung des Pochhammer-Symbols nennt man verallgemeinertes Pochhammer-Symbol.

Definition

Das Pochhammer-Symbol wird über die Gammafunktion definiert:

$(x,n)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(x+n)}{\mathrm{\Gamma }(x)}$

Aus der Funktionalgleichung der Gammafunktion folgt dann

$(x,n)\equiv x(x+1)\cdots (x+n-1)$.

Man hat also eine Identität

$(x,n)=x^{\bar{n}}$

mit der steigenden Faktoriellen.

Erläuterungen

Das Pochhammer-Symbol wird auch als $(x{)}_n$ notiert, allerdings notieren manche Autoren insbesondere in der Kombinatorik damit auch die fallende Faktorielle. In dieser Notation definiert man dann zusätzlich

$(x_1,\dots ,x_r{)}_n:=\prod _{i=1}^r(x_i{)}_n.$

Eigenschaften

Funktionsgraphen der ersten vier Pochhammer-Symbole

• Das Pochhammer-Symbol ist eine meromorphe Funktion.
• Ist $n\in \mathbb{N}$, so kann $(x,n)$ als Polynom in $x$ dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame Nullstelle bei $x=0$.
• Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen:

$(x,-n)=(-1{)}^n\frac{1}{(1-x,n)}$

• Divisionsregel:
  • $\frac{(x,n)}{(x,m)}=(x+m,n-m);n>m$
  • $\frac{(x,n)}{(x,m)}=\frac{1}{(x+m,m-n)};m>n$
• Spezielle Werte:
  • $(1,n)=n!$
  • $(\frac{1}{2},n)=2^{-n}(2n-1)!!$
  • $(0,0)=1$
• Weitere Identitäten:
  • $(x,N-k)=\frac{(x,N)(-1{)}^k}{(-x-N+1,k)}$
  • $(x,m)(x+m,n)=(x,m+n)$

q-Pochhammer-Symbol

Begrenztes q-Pochhammer-Symbol

Das Vorlage:NowrapPochhammer-Symbol ist das Vorlage:NowrapAnalog des Pochhammer-Symbols. Dieses spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Modulfunktionen und in der Kombinatorik bei Vorlage:NowrapAnaloga klassischer Formeln. Hierbei wird das Vorlage:NowrapAnalogon natürlicher Zahlen, angeregt durch den Grenzübergang

$\underset{q\to 1}{\lim }\frac{1-q^n}{1-q}=n$,

über folgende Formel definiert:

$[n{]}_q=\frac{1-q^n}{1-q}=1+q+q^2+\cdots +q^{n-1}$

Das Vorlage:NowrapPochhammer-Symbol wird über die formale Potenzreihe in der Variablen $q$ definiert:

$(a;q{)}_n=\prod _{k=0}^{n-1}(1-a{q}^k)=(1-a)(1-aq)(1-a{q}^2)\cdots (1-a{q}^{n-1})$

mit der Zusatzbedingung:

$(a;q{)}_0=1$.

Sie werden auch Vorlage:NowrapReihen genannt und $(a;q{)}_n$ als $(a{)}_n$ abgekürzt, z. B. $(q;q{)}_n=(q{)}_n=\prod _{k=1}^n(1-q^k)=(1-q)(1-q^2)\cdots (1-q^n)$.

Der Buchstabe q wird deswegen in den Formeln verwendet, weil er das elliptische Nomen beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße darstellt.

Unendliches q-Pochhammer-Symbol

Das Vorlage:NowrapPochhammer-Symbol lässt sich auch zu einem unendlichen Produkt erweitern:

$(a;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(1-a{q}^k)$

Der Spezialfall

$\varphi (q)=(q;q{)}_{\mathrm{\infty }}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-q^k)$

wird als Eulersches Produkt bezeichnet.

Das elliptische Nomen als Funktion stellt den Zusammenhang zu den vollständigen elliptischen Integralen erster Art her:

$[q(\epsilon );q(\epsilon ){]}_{\mathrm{\infty }}=2^{1/3}|\epsilon {|}^{1/12}(1-{\epsilon }^2{)}^{1/6}q(\epsilon {)}^{-1/24}{\pi }^{-1/2}K(\epsilon {)}^{1/2}$

$[q(\epsilon {)}^2;q(\epsilon {)}^2{]}_{\mathrm{\infty }}=|\sin [2\arcsin (\epsilon )]{|}^{1/6}q(\epsilon {)}^{-1/12}{\pi }^{-1/2}K(\epsilon {)}^{1/2}$

$[q(\epsilon );q(\epsilon {)}^2{]}_{\mathrm{\infty }}=2^{1/4}|\cot [2\arctan (\epsilon )]{|}^{1/12}q(\epsilon {)}^{1/24}$

$q(\epsilon )=\exp [-\pi K(\sqrt{1-{\epsilon }^2})K(\epsilon {)}^{-1}]$

$K(w)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}[1-w^2\sin (\alpha {)}^2{]}^{-1/2}\mathrm{d}\alpha$

Partitionszahlenfolge und Pentagonalzahlensatz

Das Eulersche Pochhammer-Produkt spielt in der Theorie der Partitionsfunktion eine entscheidende Rolle.

Denn die Maclaurinsche Reihe für den Kehrwert des Eulerschen Produkts trägt die Partitionszahlen als Koeffizienten:

$(x;x{)}_{\mathrm{\infty }}^{-1}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}P(k)x^k$

Dabei steht P(n) für die n-te Partitionszahl.

Die Maclaurinsche Reihe für das Eulersche Produkt selbst hat an allen Summanden die Fünfeckszahlen und Kartenhauszahlen als Exponenten:

$(x;x{)}_{\mathrm{\infty }}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[x^{K(2k)}-x^{F(2k+1)}-x^{K(2k+1)}+x^{F(2k+2)}]$

Dabei steht F(n) für die n-te Fünfeckszahl und K(n) für die n-te Kartenhauszahl:

$F(n)=\frac{1}{2}n(3n-1)$

$K(n)=\frac{1}{2}n(3n+1)$

Diese Tatsache basiert auf dem Pentagonalzahlensatz von Leonhard Euler.

Thetafunktion und Psifunktion

Das Eulersche Produkt kann auch mit der Jacobischen Thetafunktion und der Ramanujanschen Psifunktion ausgedrückt werden:

$(x;x{)}_{\mathrm{\infty }}={\vartheta }_{00}(x{)}^{1/6}{\vartheta }_{01}(x{)}^{2/3}[\frac{{\vartheta }_{00}(x{)}^4-{\vartheta }_{01}(x{)}^4}{16x}{]}^{1/24}=\sqrt[6]{{\psi }_R(x^2){\vartheta }_{00}(x){\vartheta }_{01}(x{)}^4}$

Speziell für positive x-Werte gilt außerdem:

$(x;x{)}_{\mathrm{\infty }}=3^{-1/2}{x}^{-1/24}{\vartheta }_{10}(\frac{1}{6}\pi ;x^{1/6})=2^{-1/6}{x}^{-1/24}{\vartheta }_{10}(x{)}^{1/6}{\vartheta }_{00}(x{)}^{1/6}{\vartheta }_{01}(x{)}^{2/3}$

Der Mathematiker Srinivasa Ramanujan entdeckte folgende Beziehung zu den Thetafunktionen:

$(x;x^2{)}_{\mathrm{\infty }}=\sqrt[6]{{\psi }_R(x^2{)}^{-1}{\vartheta }_{00}(x{)}^{-1}{\vartheta }_{01}(x{)}^2}=2^{1/6}{x}^{1/24}{\vartheta }_{10}(x{)}^{-1/6}{\vartheta }_{00}(x{)}^{-1/6}{\vartheta }_{01}(x{)}^{1/3}$

Sie finden sich in seinem Aufsatz Modular Equations and Approximations to π. Aus den beiden zuletzt genannten Formeln folgt:

$(x;x{)}_{\mathrm{\infty }}(x;x^2{)}_{\mathrm{\infty }}={\vartheta }_{01}(x)$

Für die Thetafunktionen dienen diese Formeln zur Definition:

${\vartheta }_{01}(x)=1-2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[x^{◻(2n-1)}-x^{◻(2n)}]=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^{2n})(1-x^{2n-1}{)}^2$

${\vartheta }_{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{◻(n)}=\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^{2n})(1+x^{2n-1}{)}^2$

${\vartheta }_{10}(x)=2x^{1/4}+2x^{1/4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2△(n)}=2x^{1/4}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-x^{2n})(1+x^{2n}{)}^2$

Die Ramanujansche Ψ-Funktion ${\psi }_R(x)$ ist über jene Formel definiert:

${\psi }_R(x)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{△(n)}$

Rogers-Ramanujan-Kettenbruch

Mit dem Pochhammer-Symbol kann auch die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion R(x) dargestellt werden:

$R(x)=x^{1/5}[1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2△(n)}}{(x;x{)}_n}][1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{◻(n)}}{(x;x{)}_n}{]}^{-1}=x^{1/5}\frac{(x;x^5{)}_{\mathrm{\infty }}(x^4;x^5{)}_{\mathrm{\infty }}}{(x^2;x^5{)}_{\mathrm{\infty }}(x^3;x^5{)}_{\mathrm{\infty }}}=$

$=\tan ⟨\frac{1}{2}\mathrm{arccot}\{\frac{{\vartheta }_{01}(x^{1/5})[5{\vartheta }_{01}(x^5{)}^2-{\vartheta }_{01}(x{)}^2]}{2{\vartheta }_{01}(x^5)[{\vartheta }_{01}(x{)}^2-{\vartheta }_{01}(x^{1/5}{)}^2]}+\frac{1}{2}\}⟩=$

$=\tan ⟨\frac{1}{2}\mathrm{arccot}\left\{\frac{1}{2}\right[\frac{{\vartheta }_{00}(x^{1/10}){\vartheta }_{01}(x^{1/10}){\vartheta }_{10}(x^{1/10})}{{\vartheta }_{00}(x^{5/2}){\vartheta }_{01}(x^{5/2}){\vartheta }_{10}(x^{5/2})}{]}^{1/3}+\frac{1}{2}\}⟩=$

$=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [\frac{1}{2}-\frac{{\vartheta }_{01}(x{)}^2}{2{\vartheta }_{01}(x^5{)}^2}]{\}}^{1/5}\tan \{\frac{1}{2}\mathrm{arccot}[\frac{1}{2}-\frac{{\vartheta }_{01}(x{)}^2}{2{\vartheta }_{01}(x^5{)}^2}]{\}}^{2/5}=$

$=\tan \{\frac{1}{2}\arctan [\frac{1}{2}-\frac{{\vartheta }_{01}(x^{1/2}{)}^2}{2{\vartheta }_{01}(x^{5/2}{)}^2}]{\}}^{2/5}\cot \{\frac{1}{2}\mathrm{arccot}[\frac{1}{2}-\frac{{\vartheta }_{01}(x^{1/2}{)}^2}{2{\vartheta }_{01}(x^{5/2}{)}^2}]{\}}^{1/5}$

In der ersten Zeile der Gleichungskette werden die Rogers-Ramanujan-Identitäten repräsentiert.

Dabei wurden für eine kompaktere Darstellung die Abkürzungen verwendet:

$△(n)=\frac{1}{2}n(n+1)$

$◻(n)=n^2$