Differenzkern

Ein Differenzkern, auch Egalisator oder nach der englischsprachigen Bezeichnung Equalizer genannt, ist eine Verallgemeinerung des mathematischen Begriffes Kern auf beliebige Kategorien.

Definition

In einer Kategorie seien zwei Morphismen $f,g:X\to Y$ gegeben. Ein Differenzkern von $f$ und $g$ ist ein Morphismus $i:Z\to X$ mit folgenden Eigenschaften:

• $f\circ i=g\circ i$ und
• zu jedem Morphismus $i^{\prime }:Z^{\prime }\to X$, für den $f\circ i^{\prime }=g\circ i^{\prime }$ gilt, gibt es genau einen Morphismus $c:Z^{\prime }\to Z$, so dass $i^{\prime }=i\circ c$.

$\begin{array}{ccccc}{Z}^{\prime }& & & & \\ {\downarrow }^c& {\searrow }^{i^{\prime }}& & & \\ Z& \underset{i}{\overset{}{\to }}& X& \underset{f}{\stackrel{g}{\rightrightarrows }}& Y\end{array}$

Beispiele

• In den Kategorien Set der Mengen, Top der topologischen Räume, $R$-Mod der Linksmoduln über einem Ring $R$ ist in der Situation obiger Definition die Inklusionsabbildung

$i:\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}\hookrightarrow X$

ein Differenzkern. Insbesondere in der zuletzt genannten Kategorie ist

$\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}=\{x\in X\mid (f-g)(x)=0\}$

automatisch ein Untermodul, der mit dem Kern der Differenz $f-g$ zusammenfällt, was die Bezeichnung Differenzkern erklärt.

• In den Kategorien der Gruppen, abelschen Gruppen, Vektorräume oder Ringe ist der Differenzkern zweier Morphismen durch den Differenzkern der zugrundeliegenden Mengenabbildungen gegeben.
• Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition $g=0_{XY}$ der Nullmorphismus $X\to Y$, so ist ein Differenzkern von $f$ und $0_{XY}$ nichts anderes als ein Kern von $f$. Damit ist jeder Kern ein Beispiel für einen Differenzkern.

Bemerkungen

• Differenzkerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition $i:Z\to X$ und $\tilde{i}:\tilde{Z}\to X$ zwei Differenzkerne von $f$ und $g$, so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus $c:\tilde{Z}\to Z$ mit $\tilde{i}=i\circ c$ gibt. Differenzkerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von dem Differenzkern spricht und ihn mit $\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(f,g)$ bezeichnet.
• In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt $Z$ den Differenzkern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Inklusionsabbildung, die unerwähnt bleiben kann.
• Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkerne, wenn es zu je zwei Morphismen $f,g:X\to Y$ einen Differenzkern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set, Top und $R$-Mod haben offenbar Differenzkerne. Die Unterkategorie Set₂ der mindestens zweielementigen Mengen von Set hat keine Differenzkerne.
• Differenzkerne sind Monomorphismen. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Diejenigen Monomorphismen, die als Differenzkern auftreten, nennt man regulär.
• Differenzkerne sind spezielle Limites, nämlich die von Funktoren $ℐ\to 𝒞$ (auch $ℐ$-förmige Diagramme genannt), in welchen die Kategorie $ℐ$ aus zwei Objekten mit jeweiligen Identitäten und zwei parallelen Morphismen zwischen ihnen besteht.

Äquivalente Beschreibung

Ein Differenzkern zweier Morphismen $f,g:X\to Y$ in einer beliebigen Kategorie kann auch als das durch die folgenden äquivalenten Eigenschaften charakterisierte Unterobjekt $i:\ker (f,g)\to X$ von $X$ beschrieben werden:

$\mathrm{Hom}(T,\ker (f,g))\cong \ker (\mathrm{Hom}(T,f),\mathrm{Hom}(T,g))$

wobei

$\mathrm{Hom}(T,f):\mathrm{Hom}(T,X)\to \mathrm{Hom}(T,Y)$

$\mathrm{Hom}(T,f)(t):=ft$

und der Differenzkern auf der rechten Seite der oben beschriebene Differenzkern in der Kategorie der Mengen ist, nicht der in der betrachteten Kategorie.

Des Weiteren soll der Isomorphismus in Punkt 2 natürlich in $T$ sein, das heißt: Nennen wir die Familie von Isomorphismen

${\phi }_T:\mathrm{Hom}(T,\ker (f,g))\to \ker (\mathrm{Hom}(T,f),\mathrm{Hom}(T,g))$

dann gilt für alle $a:T_0\to T$ und alle $t$ für die der folgende Ausdruck definiert ist, dass

${\phi }_{T_0}(ta)={\phi }_T(t)a$

Siehe auch

• Differenzkokern