Prinzip vom Argument

Das Prinzip vom Argument ist ein Satz aus der Funktionentheorie, der die mit Vielfachheiten gezählten Polstellen und $w$-Stellen einer meromorphen Funktion durch ein Integral ausdrückt.

Aussage

Sei $\mathrm{\Omega }\subseteq ℂ$ offen und zusammenhängend. Sei $f:\mathrm{\Omega }\to \overline{ℂ}$ eine meromorphe Funktion, sodass $f\ne 0$. Sei $w\in ℂ$, $N=\{z\in \mathrm{\Omega }\mid f(z)=w\}$ die Menge der $w$-Stellen und $P=\{z\in \mathrm{\Omega }\mid f(z)=\mathrm{\infty }\}$ die Menge der Polstellen von $f$. Seien $n\in {\mathbb{N}}^N$ und $m\in {\mathbb{N}}^P$ die jeweiligen Vielfachheiten. Sei $\gamma$ ein in $\mathrm{\Omega }$ gelegener nullhomologer Zyklus, sodass $\mathrm{\forall }z\in N\cup P:z\notin \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{d}(\gamma )$ gilt. Dann folgt

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)-w}\mathrm{d}z=\sum _{z\in N}{\mathrm{ind}}_{\gamma }(z)n(z)-\sum _{z\in P}{\mathrm{ind}}_{\gamma }(z)m(z)$,

wobei ${\mathrm{ind}}_{\gamma }(z)$ die Umlaufzahl des Zyklus $\gamma$ um $z$ bezeichnet.

Bemerkungen

Das Prinzip vom Argument ist eine einfache Folge aus dem Residuensatz. Als Anwendung lässt sich beispielsweise der Satz von Rouché herleiten.